极限的计算方法.doc

第二章一元函数微分学三、极限的计算方法(二)??????)11(lim21sin0lim1:个重要极限的标准形式第:个重要极限的标准形式第注意:对于两个重要极限,不仅要记住他们的标准形式,更重要的是理解其本质特征,明确其一般形式。1)()(sinlim1sinlim0)(010)()(1?????xxxxxxxxxxx?????为:个重要极限的一般形式则第,的某个变化过程中,若的函数,在为,设其自身之比的极限是正弦与的特征是:无穷小量的是无穷小量,即此极限中,在限的特征为:是无穷小量,因此该极时中,在xxexxx1)11(lim??????为个重要极限的一般形式,则第的某个变化过程中,若在。的极限为大量互为倒数其中,无穷小量与无穷无穷小量)无穷大量20)()(1(??xxe?exxx???)(10)())(1(lim???)(sinsinlim60均为常数,求极限例babxaxx?两个函数乘积的极限,于是可把上极限化为解:因bxxxaxbxaxsinsinsinsin??求解。又当x→0时,ax→0,bx→0,于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx??????????????1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsinlim7??求极限例xxxtxtxtxttttxtxtt????????????1)sin(limsinlim0是无穷小量,于是有,即时,是变量,当解:在极限过程中,220sin11lim8xxx???求极限例分析:当x→0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以)11(2??x,然后看是否可利用第1个重要极限。21211111limsinlim)11(sin11limsin11lim202202220220???????????????????解:xxxxxxxxxxxx)()1(lim9为常数求极限例knknn???个重要极限求解。,即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型,无穷小是无穷小量,符合“,即时, 分析:当”)无穷大21(0????nknknkkknnnnenknk????????])1[(lim)1(lim解:)()1(lim1010为常数求极限例kkxxx??极限求解。个重要”,即可利用第”的倒数“配成“”型,再把无穷小)“于是无穷大量,即极限属是无穷小量,时, 分析:当无穷大2111(10kxkxxxkxx?????kkkxxxxekxkx?????????])1[(lim)1(lim1010解:3)5(lim11????xxxx求极限例5355331])51[(lim)51(lim)51(lim)5(limexxxxxxxxxxxx??????????????????解:nnnn)13(lim12????求极限例444141)11(lim])11[(lim)11(lim)13(lim141**********eetttnntttttnntntntnnnnnn?????????????????????????????????????,于是有:时,,且当,即故令因为:解法解法2:413133])11[(lim])