欧氏空间.doc

欧氏空间在线性空间中,向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算,而向量的度量性质,如长度、夹角、距离等,在线性空间中没有得到反映。因此有必要在线性空间中引入度量的概念。而在解析几何中我们看到,向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示,所以我们选取内积作为基本概念。在线性空间中引入内积以后就成为欧氏空间。一、定义与基本性质【定义1】设是实数域上的一个线性空间,如果在上定义一个二元实函数,记作,称为内积。如果它有以下性质:.,当且仅当时,这里是中任意向量,是任意实数,就称线性空间对内积构成一个欧几里得空间,简称欧氏空间。注:,,不同的内积构成的欧氏空间不同例:设是一个维实线性空间,在中取定一组基。设是一个正定矩阵,定义的内积如下:由于为正定矩阵,显然这样定义的内积符合定义中所列条件。因此,对内积构成一个欧氏空间。。因此,:进一步的,在欧氏空间中,对任意向量;及任意实数;,都有【定义2】由,设是欧氏空间中的一个向量,非负实数称为向量的长度,记为。向量的长度一般都是正数,只有零向量的长度才等于零。我们把长度为1的向量称为单位向量。长度的性质:1.,2.(运用柯西-布捏可夫斯基不等式)证明:考虑解析几何中向量夹角的余弦可以通过内积表示为由于,因此,为了在欧氏空间中引入夹角概念,必须首先证明【柯西-布捏可夫斯基不等式】对于欧氏空间中任意两个向量,都有当且仅当线性相关时等号成立。证明:(分线性相关或线性无关两种情况)若线性相关,不妨设若线性无关,那么对任意实数,因此,即实系数方程无实数解。因此,即两边开方,既得这时,我们就可以定义两个向量的夹角。【定义3】欧氏空间中两个非零向量之间的夹角规定为【定义4】如果向量的内积为零,即。那么称为正交或垂直,记作。显然,两个非零向量正交的充分必要条件是它们的夹角为并且,从定义可以看出,零向量与任何向量正交,零向量是唯一与自己正交的向量。【勾股定理】当正交时,证:推广到多个向量的情形,即如果向量两两正交,那么【定义5】设是欧氏空间中两个向量,它们之间的距离定义为距离的性质有:.,当且仅当时成立():二、度量矩阵设是一个维线性空间,在中取定一组基,对中两个向量有这样,就将向量之间的内积通过基之间的内积表示出来。因此,只需确定基之间的内积即可。【定义6】设是欧氏空间的一组基,矩阵称为基的度量矩阵。在知道了一组基的度量矩阵之后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按上式计算,因而度量矩阵完全确定了内积。度量矩阵的性质::由,为实对称矩阵。又时,,即时,,故为正定矩阵。,它们的度量矩阵分别为和,由到