复合函数的概念及复合函数的单调性 1、复合函数的概念如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。例如:函数是由复合而成立。函数是由复合而成立,a是中间变量。 2、复合函数单调性由引例:对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。对任意, 当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。∵当a>1时, ∵y=f(u)是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地,当0<a<1时, 是单调递增函数例1、讨论函数的单调性(1)(2) 解:①又是减函数∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。②x∈(-1,3) 令∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。∵是增函数∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。注意:要求定义域 练习:求下列函数的单调区间。 1、(1)减区间,增区间; (2)增区间(-∞,-3),减区间(1,+∞); (3)减区间,增区间; (4)减区间,增函数。 2、已知求g(x)的单调区间。提示:设,则g(x)=f(u)利用复合函数单调性解决:g(x) 的单调递增区间分别为(-∞,-1],[0,1],单调递减区间分别为[-1,0],[1,+∞)。例2、y=f(x),且lglgy=lg3x+lg(3-x) (1)y=f(x)的表达式及定义域; (2)求y=f(x)的值域; (3)讨论y=f(x)的单调性,并求其在单调区间上相应的反函数。答案:(1)x∈(0,3) (2)(0,] (3)y=f(x)在上单调递增函数,在上是单调递减函数当x
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