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[不定积分公式]不定积分公式总结 x例1:注意到分母根号下为二次,其导数为一次,而正好就是一次,通过凑微分和配方可以得到解决。x ππt取(?,)就可以x取到全体实数,因为t的范围直接影响到三角函数的正负,所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。 dx34则:∫=∫costdt至此,∫cos4tdt有多种求法,比如说直接用递推公式,见第五页: 应用分部积分法时,需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积,如何选取这两者是很关键的,选取不当,,同时μ的选取应使其倒数比μ简单,两者应兼顾。例:∫xearctanx 这个函数就有多种拆分方法,需要我们多尝试几次才能解出,并且用到了轮换,应注意。其实∫sin(lnx)dx也用到了轮换,详情请查阅教材165页。关键在于将有理函数分解为要求的形式,并会解决分解后的各种函数的积分,其实我们可以将其归结为两种形式: 当m≠1时,∫dx=+Ccx+d(2)∫dx(其中a,b,c,d为,n为正整数)对于,我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一之和,第一部分容易求得,第二部分利用第一页的递推公式: 1sin2x+cos2x11例1:∫dx=∫dx=∫dx+∫dx至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式,第二项可以直接套用(二、)中的递推公式或者利用分部积分求解,实际上递推公式也是由分部积分法得到的。 2μ2tanx=dx=(三角函数次数较低时效果较好)μ21√(2)令μ=tanx,则sinx=±cosx=±√1(注意正负号的判断)dx=(三角函数次数较高时效果较好)dx例:∫(用第一种变换)dμ=∫(为容易的有理积分)x2μ1?μ2 3、简单无理函数的积分(1)当被积函数是x与√(ax+b)?(cx+d)的有理式时,采用变换μn (2)当被积函数是x与√ax2+bx+c的有理式时,通常先将ax2+bx+c配方,再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。[]例:dx x例1:注意到分母根号下为二次,其导数为一次,而正好就是一次,通过凑微分和配方可以得到解决。x ππt取(?,)就可以x取到全体实数,因为t的范围直接影响到三角函数的正负,所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。 dx34则:∫=∫costdt至此,∫cos4tdt有多种求法,比如说直接用递推公式,见第五页: 应用分部积分法时,需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积,如何选取这两者是很关键的,选取不当,,同时μ的选取应使其倒数比μ简单,两者应兼顾。例:∫xearctanx 这个函数就有多种拆分方法,需要我们多尝试几次才能解出,并且用到了轮换,应注意。其实∫sin(lnx)dx也用到了轮