数学史二.ppt

自然科学史数学史:危机中的大发展候召渤幻申瑚烽脚潍哆谱拽肿厂咋毯睬阶面似卫褥纯挑憎邮稳裴玉赏车霖数学史二数学史二19世纪的数学革命18世纪末,微积分学得到了巨大的成功,“数学分析”正式成为数学三大学科之一。同时,在概率论、代数方程、图论等方面也都建立了相当完善的理论体系。一切似乎都已经很完美了,包括拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等人在内的很多著名数学家认为数学已经达到了完善,其新思想的源泉已近枯竭……但事实上,很多问题被数学家们忽视了,这些问题包括:除议羚英犁苑直周掖丁豆幂愚塑炊加樱坍满炉绑雹募啼浴若彩李玫娱补猿数学史二数学史二随着对这些问题研究的深入,一个又一个数学领域出现了令人意想不到的突破——19世纪的数学不仅没有枯竭,反而迎来了一场革命。19世纪的数学革命欧几里得第五公设是否能被证明?五次以上方程有没有一般性解法?数学分析中的基本概念如何定义?聊靳马恩汀谆雇地整桐热盟弱矢测宠诛骗臻憨厌单卢洽臣血彭牵郁秸恩谣数学史二数学史二19世纪的数学革命欧几里得第五公设是否能被证明?非欧几何的诞生远脚浴砂溯壶菏姿惠堕引府河功龄睁雪刀洗揣蛇吏戚翁玉貉惟辐俺得县忘数学史二数学史二非欧几何学的诞生源于对欧几里得“第五公设”的质疑。第五公设:当两条直线被第三条直线所截,如有一侧的两个内角之和小于两直角,则将这两条直线向该侧适当延长后必定相交。与其他四条公设相比,这一条公设表达语句非常繁琐,而且含义不清,因此,从《几何原本》诞生以来,人们就强烈质疑这一命题的公设地位。非欧几何的诞生欧几里得的其他四条公设分别是:1、由任意一点到另外任意一点可画直线。2、一条有限直线可以任意延长。3、以任意点为圆心,任意长的距离可以画圆。4、凡直角都彼此相等。很显然,与它们相比,第五公设过于繁冗了。塘床奸拴农荡抢勤祥蹲虑舵猿官茬互丈返胖冬栋综铸具妊啤怜募仿猾弄瓣数学史二数学史二对于繁冗的第五公设,许多研究者都试图利用其他四条公设对其进行证明,或者采用另一条简单明了的命题来替代它。这一过程持续了两千多年,试图证明第五公设的学者和他们提出的等价命题多不胜数,但始终没有得到令人满意的结果。目前普遍采用的第五公设的替代命题是英国数学家普雷菲尔提出的:过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行。所以,第五公设也称为“平行公设”。非欧几何的诞生熄划睹驳去兰料削颜滓都乳泽辈护千冻殷痰母谅颗投意橇稽刺刃滦购紧宰数学史二数学史二1733年,意大利数学家萨开里在《排除任何谬误的欧几里得》中用反证法来证明第五公设。萨开里假设角A、B均为直角,且AD=BC,可知C、D两角相等。然后萨开里假设两角均为锐角,导出了一系列匪夷所思的命题。然后以以“不合情理”为由否定了所推出的命题。萨开里将直观的合理性和逻辑的必然性混为一谈,结果是在新的数学领域前戛然止步。非欧几何的诞生铝刀肾港辨错远搬袄腮乌肘锹莱锥哉领郧齿策缔彰届榷迷骸稽旭渴珊蘑伸数学史二数学史二瑞士数学家兰贝特继承了萨开里的方法,并对第五公设的可证性提出了怀疑,但他未能再向前一步。类似的,德国人高斯和匈牙利人鲍耶也都做了类似的探索,但由于惧怕传统的压力,二人都没有将自己的成果公开。对非欧几何做出决定性贡献的是俄罗斯喀山大学的罗巴切夫斯基。非欧几何的诞生颜京稼敲葫蝎素娟伪淌尊禾拽鞭办东艾抨裂则拄屠躲冯绸目怀轩祸捶蛆咎数学史二数学史二面对第五公设,罗巴切夫斯基最初跟萨开里一样选择了反证法,并同样得到一系列奇怪的命题。但是罗巴切夫斯基并没有轻率的将其否定,而是清楚地认识到在不同公理基础上可以建立不同的几何体系——一种新的几何学诞生了。罗巴切夫斯基的发现被称为罗氏几何学,但并未引起人们重视,直到1866年,意大利数学家贝尔特拉米给出了第一个罗氏几何的适用空间——伪球面空间,才使罗氏几何学在数学上得到了确认。非欧几何的诞生镶丛仓痉厚锚而蓟臃飘伙许钾靡泪孩幕铺熔鸵暮呈啼下穷铰康氟蛹固差阎数学史二数学史二1854年,德国数学家黎曼推广了空间的概念。黎曼将高斯曲率的概念作为不同空间之间差异的量度。零曲率空间即为欧几里得空间,负曲率空间则为罗巴切夫斯基空间,正曲率空间则被称为黎曼空间,或椭圆几何空间。人们对传统空间概念的认识又加深一步。19世纪70年代,德国数学家克莱因在埃尔朗根大学做了《近代几何学研究的比较评述》,将群论引入几何,并以群论为基础统一了几何学。这一观点,后来被称为“埃尔朗根纲领”。非欧几何的诞生峭企筐斯膜散蚊簇挟肇谨山促凭抗锣列叶钓卒胆蚜漂秆份束愿惯压详郝痈数学史二数学史二