基本概念距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。多元函数:,图形:极限:连续:偏导数:方向导数:其中为的方向角。梯度:,则。全微分:设,则性质函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)微分法定义:复合函数求导:链式法则若,则,隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)应用极值无条件极值:求函数的极值解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令,,,若,,函数有极小值,若,,函数有极大值;若,函数没有极值;若,不定。条件极值:求函数在条件下的极值令:———Lagrange函数解方程组几何应用曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的切线方程为:法平面方程为:曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为:法线方程为:第十章重积分二重积分定义:性质:(6条)几何意义:曲顶柱体的体积。计算:直角坐标,,极坐标三重积分定义:性质:计算:直角坐标-------------“先一后二”-------------“先二后一”柱面坐标,球面坐标应用曲面的面积:第十一章曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分定义:性质:1)2)3)在上,若,则4)(l为曲线弧L的长度)计算:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则对坐标的曲线积分定义:设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上有界,定义,.向量形式:性质:用表示的反向弧,则计算:设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,,,、格林公式:设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在D上具有连续一阶偏导数,则有2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则曲线积分在内与路径无关曲线积分在内为某一个函数的全微分对面积的曲面积分定义:设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,定义计算:———“一单二投三代入”,,则对坐标的曲面积分预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量定义:设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义同理,性质:1),则2)表示与取相反侧的有向曲面,则计算:——“一投二代三定号”,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-”.两类曲面积分之间的关系:其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。高斯公式高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有或通量与散度通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:散度:斯托克斯公式斯托克斯公式:设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线,S的侧与G的正向符合右手法则,在包含å在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:环流量与旋度环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度:第十二章无穷级数常数项级数定义:1)无穷级数:部分和:,正项级数:,交错级数:,2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散3)条件收敛:收敛,而发散;绝对收敛:收敛。性质:改变有限项不影响级数的收敛性;级数,收敛,则收敛;级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)审敛法
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