求数列极限的若干方法.doc

求数列极限的若干方法摘要:本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法,迫敛性,单调有界定理,定积分的定义,施笃茨定理,以及利用函数极限求数列极限的方法,并对每一类方法进行了总结,这将有利于我们更好的学习后续课程。关键词:极限;迫敛性;定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一,以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难,原因在于数列极限概念很抽象,而且计算也有一定的难度。论文总结出了求数列极限的一些常用方法,为并结合实例进行了说明。,若当无限增大时,能无限地接近某一个常数,就称此数列为收敛数列,是此数列的极限。例如,对于数列,当时,能无限地接近于0,则称数列为收敛数列。就是说,当充分大时,数列的通项与常数之差的绝对值可以任意小。因此有下列数列极限的精确定义。,,总存在正整数,使得当>时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限。定理1(唯一性)若数列收敛,则它只有一个极限。一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只有一个数。定理2(有界性)若数列收敛,则为有界数列,即存在正数,(保号性)若,则对任何,存在正数,使得当时有。定理4(保不等式性),使得当时有,则。定理5(迫敛性)设有收敛数列,都以为极限,数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛,且。定理6(四则运算法则)若与为收敛数列则,也都是收敛数列,,除了四则运算法则直接求数列极限以外,还可考虑如下方法。,用定义求数列极限的关键是:通常化为一常数与一含有的无穷小之和,从而得到,并依次求出,用定义进行求解。因此,关键是找出,可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式,找到使成立,n所要满足的条件,也就是不等式的解集。该解集是自然数N的无限子集。对同一个并不唯一,因此,只需在该解集中找出一个作为N即可。这样寻找N的问题就转化成求解不等式的问题了。,可以先设,通过用定义得出N,其步骤如下:第一步:先找到这个常数,使得当时,无限地接近于。第二步:,求出使成立的n所要满足的条件——寻找N。第三步:取出N。。解:对欲使只要,即,故只需取,则当时,就有,因此。例2求数列的极限,其中。解:若,则结论成立。现设,记,则。于是由可知,所以要使,只要使。取则当时,恒有。综上所述有。:第一步:找出这个常数,使得当时,无限地接近于,将作适当放大成,即对一切n,有<成立。第二步:,寻求使成立时n所要满足的条件——寻找。第三步:求出N。例3计算:的极限。解:由于有,令,即。从而有。即,或解得。于是,对,有(适当放大,对n没有限制)。故对,要想使成立,只需,解得。取。于是,对,当,有即。,有时需要对n加以限制,这就是所谓条件放大法。具体步骤如下:第一步:找出一个常数,使得当时,无限地接近于,将作条件放大成,即当时,有。第二步:,寻求使成立n所要满足的条件——寻找。第三步:取。例4已知,计算的极限。解:因为,所以当时,于是,当时,有其中又因为于是对于上述的,存在,当时,。取则当时,有所以=。小结:运用放大法证明数列极限时,应注意以下问题:第一,放大一定要“适当”,不能随意地放得过大。第二,放大后的,只要保证是无穷小量(当时)即可,因此并不是唯一的,从而N也不是唯一的。小结:这是证明极限的最一般的方法,由起步,可以借助不等式,逐次放大不等式的方法,找到相应的。用定义证明一个数是某一个数列的极限可以说是万能的,但这要求事先估计数列的极限是多少,并且证明过程又是非常麻烦的。:设是三个数列。若存在正数,当时有,且。对于无限项和的极限,不能运用极限四则运算来求解,就考虑用迫敛性定理。例5求极限解:设则有于是而故由迫敛性的由此可见:当数列中的一般项为项的和时,在这种情况下,我们就可以放大、缩小;取中最大的分母做的分母,最小的分母做的分母,而,的其余部分和完全相同,如果时,则可由迫敛性求得。对于无穷项和的极限时,不能拆成极限的和。例6求数列的极限。解:令则于是从而由于所以。小结:这实际上就是运用了数列极限的迫敛性,适当的对数列放缩,利用已知的数列极限,以及不等式的性质进行求解,根据所求数列的结构,将适当放大、适当缩小。设放大后得,缩小后得,即有。值得注意的是与应该都收敛于同一个极限。利用迫敛性定理求数列极限的推广应用定理8若级数与收敛,且成立不等式。例7判断的敛散性。解:级数的前项和则而又因为