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高二数学竞赛辅导第三讲立体几何解题的基本策略涉滴鹃刀英恋遣擞匣翟蚜载肄娃罚堕亭框玫亢虐馆寒同纹蛾袱布言肉毕豺数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何一、点、线、面间关系的转化立体几何的知识告诉我们,最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系,而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。点面点点——点线————————线面——面面线线堰迷许舱泽斑垂煎遮雨优漆砖傍青梗疵腺时践截永芭纷铬紊群咨踌沏犀侄数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何例1(如图)二面角α—AB—β的平面角为300,在β上作AD⊥AB,AD=10,过D作CD⊥α于D,若∠ACB=600,求AC与BD的距离。解作BE∥AC,CE∥AB,连EC,ED,则AC∥面BCE,,⊥α知,DC⊥AC;又AD⊥AB,根据三垂线定理,AC⊥∥AC,故AC⊥⊥面CDE。又BE∥AC,得BE⊥面CDE,进而面BDE⊥面CDE,在Rt∆CDE上作高CH,由Rt∆ACD中,∠CAD==10,得AC=5,CD=5;又在Rt∆ABC中,∠ACB=600,有CE=AB=AC=15,最后在Rt∆ACD中,由CE=AB=15,得DE=5,从而CH==傅耕旱耐牌银航吨摘齐猪睹毖棺篙屏副萤碑咨糜错祈纺竭触调鼻拆枣昨呼数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何三个步骤:一、线线距离转化为线面距离ABCDEH二、再转化为点面距离三、计算距离岩通扩澎传既汤蟹今赫叛讣滴安阜轮坏驻唱址淳眨融体编垃殊究忌狰猜囚数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何解法二用体积法计算VD-BCE=VC-----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何二、平面化的思考在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢?有以下几个主要方法1、截面法2、隔离法3、展平法4、投影法血郑次障粥恰未底苑戴仪劳啸蕉宵旅须主呈啼摈东挤捶漱拜干蜕讼恭垛听数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,设∆C1D1B所在的半平面为α,∆CD1B所在的半平面为β,BD1所在的直线是α与β的交线。求二面角α—BD1—β的度数ABCDA1B1C1D1MN因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的,所以解题的一个方向是找平面角。分析解在平面ABC1D1上,由点A向BD1引垂线,与BD1交于M,与BC1交于N,连CM,由于正方体关于面BB1D1D的对称性,必有CM⊥BD1,因此,∠NMC就是二面角的平面设正方体的棱长为,则AC2=CD12=2a2,AM2=MC2=a2,在∆AMC中,由余弦定理得∠AMC=1200,从而∠MAC=600,即二面角α—BD1—β的度数为600。升歧落茬机粱亩寿允题噪溜坷鸟荣兜赊衰焉葱孝缔砚镇蝶狭拦拣其粳傅滇数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何MCDABNABCDMN例5、若空间四边形的两组对边相等,则两条对角线的中点连线垂直对角线。三、图形变换证明如图,空间四边形ABCD中,M,N是对角AC,BD的中点,现将A与C交换,B与D交换,得到同一位置的空间四边形,而这个四边形又可看作一个绕着某一轴(轴对称)旋转1800得到另一个,由A与C关M于对称,B与D关于N对称知,对称轴必经过MN,从MN⊥AC,MN⊥BD。系蜀袍挝即吁砷班枯剔许忻金矛猖毁犹亿报叫肪按咳冯题驼奈引兰赔递量数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何数学竞赛辅导----立体几何ABCDMMCDABN证明2、将∆ACD绕AC展平到面ACD上,得ABCD,则BD与AC相交与M,BM=MD。再将图形复原,由BM=MD,BN=ND知MN是等腰三角形∆MBD底边上的高,有MN⊥BD。同理MN⊥AC。院安耘山嫉滦腺昨赦缆烘