基于贝叶斯理论的R语言实例分析.docx

上海大学2013~2014学年春季学期研究生课程考试 课程名称:贝叶斯统计学课程编号:01SAQ9009论文题目:基于贝叶斯理论的R语言实例分析研究生姓名:杨晓晓、李腾龙学号:13720061、13720067研究生班级:理学院统计系论文评语:    成绩:任课教师: 评阅日期:基于贝叶斯理论的R语言实例分析杨晓晓(13720061),李腾龙(13720067)摘要:Gibbs抽样和Metropolis-Hastings算法是MCMC理论中最为重要的两种算法,Probit模型也是二分类数据分析中非常重要的模型。本文的主要是通过小组两个人互相讨论的方式,应用Gibbs和M-H算法共同完成了Probit模型在贝叶斯理论框架下的估计问题,深入学习并掌握Probit模型、Gibbs抽样、M-H算法的相关知识,并可以初步使用R语言进行编程。同时,在文章第二部分我们俩还给出了多项式分布的Gibbs抽样的实现。关键词:Probit,Gibbs,Metropolis-Hastings,多项式分布一、Probit模型介绍Probit模型的定义设y是一个二值的响应变量,。y的值依赖于解释变量x,通常我们可以认为的概率是关于x的一个函数,即:假设存在潜在变量是参数,是潜变量。通常,我们称由上式决定的模型为Probit模型。二、Probit模型与Gibbs抽样满条件分布,我们知道潜变量,由于对做了如下限制条件:,这暗示潜变量的分布是以为条件的截尾正态分布(truncatednormaldistribution,TN):再者,,回归参数和潜变量为简单线性关系,由实用多元统计分析[1]第七章可知,所以:在先验分布的条件下,的后验分布为:也即,,其中X为线性回归样本矩阵,第一列元素为1,Z为潜变量向量,最终得到回归参数和潜变量的满条件分布:Gibbs算法实现我们得到了Probit模型的满条件分布,故Probit的Gibbs抽样可按下面过程执行:(1)选取合适的初始值;(2)从分布中抽取关于的样本,抽样过程中满足条件:;(3)从分布中抽取关于的样本;(4)重复过程(2)和(3),直到满足需要的样本量。程序实现:第一步,先给定参数,生成100个样本:#产生样本x<-matrix()y<-vector()z<-vector()b<-c(2,1)x<-rnorm(100,0,5)x<-cbind(rep(1,100),x)for(iin1:100){z[i]<-x[i,]%*%b+rnorm(1,0,1)if(z[i]>0){y[i]=1}else{y[i]=0}}结果如下(省略部分X值):第二步,用Gibbs抽样的方法,对参数进行估计:#Gibbs抽样library(EnvStats)#截尾正态包library(MASS)#多元正态包b1<-1b2<-1for(iin2:5000){for(jin1:50){if(y[j]==1){z[j]<-rnormTrunc(1,x[j,]%*%c(b1[i-1],b2[i-1]),1,min=0,max=Inf)#截尾正态}elseif(y[j]==0){z[j]<-rnormTrunc(1,x[j,]%*%c(b1[i-1],b2[i-1]),1,min=-Inf,max=0)}}b<-mvrnorm(1,solve(t(x)%*%x)%*%t(x)%*%z,solve(t(x)%*%x))#多元正态#solve()求逆,t()求转置b1[i]<-b[1]b2[i]<-b[2]}summary(b1[2000:5000])summary(b2[2000:5000])去掉前2000次收敛迭代过程,计算后3000次迭代值得到两个参数的后验均值估计结果如下(大约需要运行2分零38秒):我们可以看到,估计结果E(b1|Y,X)=,E(b2|Y,X)=,与真实值(2,1)比较接近。但经过多次运行发型,Gibbs方法产生的结果不太稳定,每次运行的结果差别较大,这可能与迭代次数有关。三、Probit模型与Metropolis-Hastings算法Probit模型在贝叶斯框架下的参数后验分布,我们知道,的概率为:设参数服从先验分布:,根据贝叶斯原理,我们得到的后验分布为:M-H算法一般步骤一般的M-H算法是基于建议分布q(y|x)来产生Markov链的,令后验分布为平稳分布,由以下算法来产生Markov链:假设已由第t次迭代得到,为了得到,做以下步骤:(1)从一个建议分布取样:;(2)计算:(3)设定:用于Probit模型的M-H算法,我们已经得到的后验分布,若取先验分布,得到:采用Metropolis-Hastings算法的迭代步骤为:任意选取,假设已经产生了,为了产生(1)从建议分布产生一个备选值则,概率密度函数(2)计算(3)设