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一元多项式最大公因式的求法摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分,,:;辗转相除法;斜消变换法;矩阵初等变换一引言最大公因式的概念是多项式代数的重要内容,关于最大公因式的求法一般主要讨论两个多项式的最大公因式的求法,,往往也是通过两两多项式求最大公因式,,我们给出以下的矩阵初等变换法,斜消变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式,虽然不尽完善,,有如下定义和定理:定义1如果多项式既是的因式,又是的因式,,,的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:1)是,的公因式;2),,—(多个):设多项式与的标准分解式分别为:(上式分别是f(x),g(x)的首项系数.)是两两不等的首项系数为1的不可约多项式,是非负整数,则这里证明证明:,虽然,直观,,分解的过程往往比较困难,,,在中存在一个最大公因式,且可以表成,的一个组合,即有中的多项式,使.①证明如果,有一个为零,譬如说,,那么就是一个最大公因式,且.,用除,得到商,余式;如果,就再用除,得到商,余式;又如果,就用除,得出商,余式;如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即因此在一有限次之后,必然有余式为零,于是我们有一串等式;,,…………,…………,,.,也就是与的一个最大公因式;同样的理由,逐步推上去,,我们有再由倒数第三式,代入上式可消去得到然后根据同样的方法用它上面的等式逐个消去,再并项就得到这就是定理的①,如果是与的两个最大公因式,那么一定有与,也就是,.这就是说,,—:解用辗转相除法,得故 为了运算的简化,我们可以在辗转相除的开始或过程中用一个非零常数去乘被除式或者除式,,在辗转相除的过程,若遇到两个多项式的次数相同时,可以任取一个作除式,,也可以将被除式减去除式的若干倍再做辗转相除,,:是的倍式而的因式只有两种可能:或是常数,,也不整除即与互素辗转相除法具有可操作性,较因式分解法适用范围更广,,辗转相除次数较多显得十分麻烦;在求时,辗转相除的过程不能用一个非零的常数去乘除式和被除式,,,只要发现某一能较快的因式分解,:由辗转相除法得是有理数域上的不可约多项式的因式只可能是或常数用试除,得不整除,所以,的最大公因式是常数,即互素. 在了解了用上述格式表示辗转相除法的过程后,我们还可以用另一种更简单,,不妨设,用去除有,,,再用去除有,,,则也是可逆阵,依次做下去,由于在绝对递减,,,则.,,则有.②又由于,于是均可由表示,②,即再作除法即再作除法,,,用去除,有,,再用去除和,有,,由于绝对递减,必有某时中有一个不为零,其余全为零,不妨设,则有,记,,即均可由表示,.,用去除,有即最小,再作除法,即是最大公因式..,用去除有即设(必是可逆阵)不妨设,再用去除有即设(必是可逆阵).继续下去,由于绝对递减,,,,设的第一列为,有,且均可由表示,.矩阵法在辗转相除法的基础上,结合多项式最大公因式的定义与矩阵的运算性质,,但仍需要两两多项式作除法,随着多项式的个数增加