线性系统理论Chapter7多项式矩阵理论.pptx

1第七章数学基础: :d(s)=dmsm+dm-1sm-1+…+d1s+d0di(i=0,1,…,m)R,sC;若dm0,则称d(s)的次数为m,记为degd(s)=m;dm称首系数,若dm=1,称d(s)为首1多项式。多项式矩阵:元为多项式的矩阵。Q(s)行列式=detQ(s)=多项式有理分式域:包括所有有理分式的集合,常记成R(s)。(s),如果其行列式为有理分式域上的零元,即detQ(s)0,称Q(s)是奇异的,反之,是非奇异的。例:所以,Q1(s)非奇异,Q2(s),当且仅当存在一组不全为零的多项式a1(s),a2(s),…,am(s),使成立a1(s)q1(s)+a2(s)q2(s)+…+am(s)qm(s)=0则称p个多项式向量q1(s),q2(s),…,qm(s)为线性相关的;若仅当a1(s)=0,a2(s)=0,…,am(s)=0时上式才成立,则称q1(s),q2(s),…,qm(s)为线性无关的。向量表示:称多项式向量组q1(s),q2(s),…,qm(s)为线性相关,当且仅当存在p维多项式向量a(s)0,使成立[q1(s)q2(s)…qm(s)]a(s)=0反之,如果仅当a(s)=0时上式才成立,称多项式向量组q1(s),q2(s),…,qm(s)为线性无关。5与奇异非奇异的关系:一个方多项式Q(s),Q(s)为奇异当且仅当其列(行)多项式向量为线性相关,而Q(s)为非奇异当且仅当其列(行)多项式向量为线性无关。反之,亦成立。多项式向量组的线性相关或线性无关,不仅依赖于这组向量本身,而且通常还依赖于引入的标量a1(s),a2(s),…,am(s)所取值的域。n多项式矩阵Q(s)的秩为r,rmin(m,n),如果至少存在一个rr的子式不恒等于零,而所有等于和大于(r+1)(r+1)的子式均恒等于零。常记成rankQ(s)=r。几点推论1rankQ(s)min(m,n);rankQ(s)=r等价于Q(s)有且仅有r个列(行)向量为线性无关;Q(s)为满秩,当且仅当rankQ(s)=min(m,n);Q(s)为降秩,当且仅当rankQ(s)<min(m,n);7方多项式Q(s)维数为n,则Q(s)非奇异等同于rankQ(s)=n,Q(s)为奇异等同于rankQ(s)<n;mm的P(s)和nn的R(s)为任意非奇异多项式,则必成立:rankQ(s)=rankP(s)Q(s)=rankQ(s)R(s);Q(s)和R(s)分别为mn和np任意多项式矩阵,则一般有:rankQ(s)R(s)min(rankQ(s),rankR(s))。(s)称之为单模阵,当且仅当其行列式detQ(s)是独立于s的一个非零常数。例:(s)为单模阵,当且仅当其逆Q-1(s)也是一个多项式矩阵。一个重要性质Q(s)为单模阵9其它推论若Q(s)为单模阵,则Q(s)必是非奇异的。但是,反命题一般不成立;任意两个同维的单模阵的乘积阵也必为单模阵;单模阵Q(s)的逆矩阵Q-1(s)也一定是单模阵;方多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性之间,存在如下对应关系Q(s)为奇异不存在一个sC,使成立detQ(s)0;Q(s)为非奇异对几乎所有sC,使成立detQ(s)0;Q(s)为单模阵对所有sC,使成立detQ(s)0。:三种初等变换对应三种初等矩阵多项式矩阵的三种初等变换:(1)交换任意两行和两列;(2)用一个非零的实或复数乘于某个行或列;(3)将某个行或列与一个多项式的乘积加于另一行或列。(1)(3)(2)基本特性:E1-1=E1;E2-1=E2中c-1代替c;E3-1=E3中-d(s)代替d(s)