(mod)常微分方程sxsy5.ppt

end海军方面要求改进现有的舰对舰导弹系统。目前的电子系统能迅速测出敌舰的种类、位置以及敌舰行驶速度和方向,且导弹自动制导系统能保证在发射后任一时刻都能对准目标。根据情报,这种敌舰能在我军舰发射导弹后T分钟作出反应并摧毁导弹。现在要求改进电子导弹系统使能自动计算出敌舰是否在有效打击范围之内。一、引例导弹系统的改进end设我舰发射导弹时位置在坐标原点,敌舰在x轴正向d(km)处, 其行驶速度为a (km/h), 方向与x轴夹角为?, 导弹飞行线速度b(km/h) 。设t 时刻时导弹位置为(x(t),y(t)) , 那么?dbdtdydtdx??22)()(易知t 时刻敌舰位置为(d+atcos?,atsin?)。end为了保持对准目标,导弹轨迹切线方向应为由上面两个方程得下列微分方程)(cos)(sintxatdtyatdxdy??????22))(cos)(sin(1)(1txatdtyatbdxdybdtdx?????????22))(sin)(cos(1)(1tyattxatdbdydxbdtdy?????????end初始条件为x(0)=0, y(0)=0, 对于给定的a,b,d, ?进行计算。当x(t)满足x(t) + ?> d + a t cos?则认为已击中目标。这里?代表允许的误差,因为敌舰是有一定大小的。如果t < T,则敌舰在打击范围内,可以发射。end二、数学理论复习: 常微分方程1、常微分方程的概念常微分方程: f (t,y,y’,y’’,…,y(n))=0常微分方程组: 由若干个常微分方程联立而成的方程组线性常微分方程: y(n) + a1 (t) y(n-1) + … + an-1 (t) y’+ an (t) y = b(t)若ai (t) (i =1, …,n) 与t无关, 称为常系数的若b(t)=0,称为齐次的end2、初等积分法3、常系数线性微分方程线性常微分方程的解为一个特解和相应的齐次方程通解的叠加。齐次微分方程的解可用特征根法求得例1 求x’’+ x’+ = 0的通解解特征方程为?2 + ?+=0? roots([1 ]求得共轭复根?+i ?=-?,通解为x(t) = Ae?t cos(?t) +Be?t sin(?t)end三、微分方程数值解法:Euler法数值解法:寻求解y(t)在一系列离散节点t0 < t1 < …< tn <tf 上的近似值yk (k=0,1,…n)。hk = tk+1-tk为步长,通常取为常量h 。Euler法:在节点处用差商近似代替导数Euler格式ytftyttttytyf'()(,())()???????000ytytythkkk'()()()???1yyhftykkkk???1(,)k=0,1,2…[tout,yout] = euler('ypfun', tspan, y0,h) ypfun: 表示f(t, y)的M文件名tspan=[t0, tf]: 表示自变量初值t0和终值tf y0: 表示初值向量y0,h是步长。输出列向量tout: 表示节点(t0 , t1 , …, tn)'输出矩阵yout: 表示数值解,每一列对应y的一个分量end例2 解方程y’= y-2t/y, y(0)=1, 0<t< ?[t,y]=euler('eg5_2fun',[0,1],1,)四、使用MATLAB命令1、数值解[tout,yout] = ode45('yprime', tspan, y0)用法与euler相同。若无输出参数,则作出图形。ode23与ode45类似只是精度低一些。