2020年复合函数的单调性.doc

,同学们应掌握求函数值域的常用方法;掌握函数单调性的定义,能用定义判定函数的单调性;会判断复合函数的单调性;了解利用导数研究函数单调性的一般方法.[知识要点]:配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法,利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称f(x)在这个区间是增函数;如果对于给定区间上任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称f(x)=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性,这一区间叫做f(x):在定义域内的一点处,这个函数是增函数还是减函数呢?函数的单调性是就区间而言,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,,设“f型”是增函数,“g型”是减函数,则:(1)f1(x)+f2(x)是增函数;(2)g1(x)+g2(x)是减函数;(3)f(x)-g(x)是增函数;(4)g(x)-f(x)是减函数.[典型例题](一):例2求函数y=2x+2-3×4 x(-1≤x≤0) 的值域解y=2x+2-3·4x=4·2x-3·22x令2x=:∴函数定义域为[3,5]、y满足x2+4y2=4x,求S=x2+y2的值域解:∵4y2=4x-x2≥0∴x2-4x≤0,即0≤x≤4∴当x=4时,Smax=16当x=0时,Smin=0∴值域0≤S≤=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3,:的位置取决于a,而函数的自变量x限定在[-1,1]内,因此,有三种可能性,:综合(1)(2)(3)可得:a=±7(二)(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)(2)若2y-1≠0,则∵x∈R∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0即(2y-1)(10y-3)≤0 (y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0(*)①若y=1,代入(*)式-3x-9=0∴x=-3,此时原函数分母x2+x-6的值为0∴y≠1②若y≠1,则∵x∈R∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0化简可得(5y-2)2≥0,则y∈R说明:m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式,再利用x∈R,由Δ≥0求出y的取值范围,但需注意两点:(1)要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论,只有m(y)≠0时,才可利用判别式;(2)在求出y的取值范围后,要注意“=”能否取到.(三):∴ymax=1,ymin=-23∴原函数值域 -23≤y≤:(四)::调递减说明在利用函数的单调性求值域时,应注意如下结论:在共同定义域上,设“f型”是增函数,“g型”是减函数,则(1)f1(x)+f2(x)是增函数;(2)g1(x)+g2(x)是减函数;(3)f(x)-g(x)是增函数;(4)g(x)-f(x)“x”、“÷”时,则不具有这种规律.(五)基本不等式法这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”::∵y≥:又y是x的连续函数(六)利用原函数的反函数如果一个函数的反函数存在,·10x+y·10-x=10x-10-x即y·102x+y=102x-1∴1+y=(1-y)·102x(七),把函数式去分母变形得:ycosx-sinx=1-3y(八):由图象知:值域为y≥3(九)利用导数求值域此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述,(一)=(2k+1)x+b是R上的减函数,则有()解:选D说明:函数y=kx+b,当k>0时是增函数;k=0时是常函数;k<:减区间是(-∞,-1)和(-1,+∞).说明:函数的两个单调区间之间能够用“,”或“和”字连接,而不能用符号“∪”连例3函数f(x)=4