立体几何怪难题-理科.doc

立体几何提升训练【例1】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,垂直于底面,分别为的中点。(1)求证:;(2)求与平面所成的角;(3)求截面的面积。解:(1)证明:因为是的中点,,所以。由底面,得,又,即,平面,所以,平面,。(2)连结,因为平面,即平面,所以是与平面所成的角,在中,,在中,,故,在中,,又,故与平面所成的角是。(3)由分别为的中点,得,且,又,故,由(1)得平面,又平面,故,四边形是直角梯形,在中,,,截面的面积。(1)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示(图略)由,得,因为,所以。(2)因为所以,又,故平面,即是平面的法向量。设与平面所成的角为,又。则,又,故,即与平面所成的角是。因此与平面所成的角为,【例2】如图,已知是底面为正方形的长方体,,,点是上的动点.(1)试判断不论点在上的任何位置,是否都有平面垂直于平面并证明你的结论;(2)当为的中点时,求异面直线与所成角的余弦值;(3):(1)不论点在上的任何位置,:由题意知,,又平面又平面平面平面.(2)解法一:过点P作,垂足为,连结(如图),则,∵∴∴,,.,.:以为原点,所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示,则,,,,,∴.∴异面异面直线与所成角的余弦值为.(3)由(1)知,平面,是与平面所成的角,,最大,这时,由得,即与平面所成角的正切值的最大值.【例3】已知平面,,与交于点,,,(1)取中点,求证:平面。(2)求二面角的余弦值。解法1:(1)联结,∵,,AC=AC∴,∴为中点,∵为中点,∴,∴平面(2)联结,∵,∴在等边三角形中,中线,又底面,∴,∴,∴平面平面。过作于,则平面,取中点,联结、,则等腰三角形中,,∵,∴平面,∴,∴是二面角的平面角等腰直角三角形中,,等边三角形中,,∴Rt中,,∴,∴.∴二面角的余弦值为。解法2:以分别为轴,为原点,建立如图所示空间直角坐标系,∵∴,∴是等边三角形,且是中点,则、、、、、(1)∴,∴,∴平面(2)设平面的法向量分别为,.则的夹角的补角就是二面角的平面角;∵,,,由及得,,,∴二面角的余弦值为。【例4】如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点。(I)求证:AF//平面BCE;(II)求证:平面BCE⊥平面CDE;(III)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【解】(I)解:取CE中点P,连结FP、BP,∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=又AB//DE,且AB=∴AB//FP,且AB=FP,∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP。又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF//平面BCE。(II)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD,DE//AB,∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE。又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE。(III)由(II),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),建立空间直角坐标系F—=2,则C(0,—1,0),显然,为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。【例5】如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠,AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别是PC,CD的中点.(Ⅰ)证明:CD⊥平面BEF;(Ⅱ)设,:(Ⅰ)证明: PA⊥平面ABCD,AD⊥CD.∴CD⊥平面BEF(Ⅱ)连结AC且交BF于H,可知H是AC中点,连结EH,由E是PC中点,得EH∥PA,PA⊥⊥平面ABCD,⊥BD于M,连结EM,由三垂线定理可得EM⊥∠EMH为二面角E—BD—F的平面角,故∠EMH=600.∵Rt△HBM∽Rt△DBF,,△EHM中,得解法2:(Ⅰ)证明,以A为原点,,,设PA=k,则,,得有(Ⅱ).设平面BDE的一个法向量,则得取由得【例6】如图,在棱长都相等的四面体ABCD中,点E是棱AD的中点,(1)设侧面ABC与底面BCD所成角为α,求tanα.(2)设CE与底面BCD所成角为β,求cosβ.(3)在直线BC上是否存在着点F,使直线AF与CE所成角为90°,若存在,试确定F点位置;若不存在,说明理由。答案:解:(1)连AF、DF,由△ABC及△BDC是正三角形,F为BC中点,得AF⊥BC,DF⊥BC,AF=DF∴∠AFD为二面角A-BC-D的