第六节-泰勒公式与泰勒级数.doc

§:掌握泰勒公式与TaylorTh,:泰勒公式与泰勒定理成立的条件,::启发式讲授与指导练习相结合教学过程:O、近似表示函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算,:当很小时,,设,,,其在处接近的程度更高,:设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数,令,再令,,若,.(表示的函数值相等)则(),:因,,……,……,,那么,因此,.一、泰勒()公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式(当很小时,)从几何上看,()的高阶无穷小量(时).但公式在实际计算中的精度不高,其误差为,,可将()的高阶无穷小分离成两部分(时).保留与同阶的无穷小量,略去的高阶无穷小量,此时有,以此类推,为达到一定精确度的要求,可考虑用次多项式近似表示,当很小时,将多项式写成以()的方幂展开的形式,,将的多项式两边求一阶到阶导数,并令可得于是能够写成若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在,能够做出一个次多项式不一定等于,但它能够近似表示,,如果能确定的值,则就确定了.【】(泰勒公式)设在含有的区间内有直到阶的连续导数,则,能够按(),:因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,因此对于,可将写成为求出的值,引进辅助函数显然,在区间上连续(设),在区间内可导,由罗尔中值定理可知,至少存在一点,使得,因为化简整理得因此,而由,于是,,公式可化为麦克劳林公式其中或令,则另证:,,由条件知:(连续次使用柯西中值定理能够证明),,显然,.那么,其中,因此,,,,那么,.,.有,,,那么,(或都能够)其中:,.特别地:时,,;时,,;时,,.,、,,,需不需要附加条件?::(1)对于一般的函数是否也有?(2)如果能展开,项的系数如何确定?(