:(为常数),等差中项:成等差数列前项和性质:是等差数列(1)若,则(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;(3)若三个成等差数列,可设为(4)若是等差数列,且前项和分别为,则(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)。的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,(即:当,解不等式组可得达到最大值时的值;当,由可得达到最小值时的值.)(6)项数为偶数的等差数列,有,.(7)项数为奇数的等差数列,有,,.:(为常数,),.等比中项:成等比数列,:性质:是等比数列(1)若,则(2)仍为等比数列,◆由求。()例1:数列,,求解时,,∴ 时, ①②①—②得:,∴,∴[练习]数列满足,求注意到,代入上式整理得,又,∴是等比数列,故。时,◆由递推公式求(1)累加法()例2:数列中,,求解:累加得(2)累乘法()例3:数列中,,求解:,∴又,∴.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)▼取倒构造(等于关于的分式表示)例4:,求解:由已知得:,∴∴为等差数列,,公差为,∴,∴▼同除构造例5:。解:对上式两边同除以,得,则为等差数列,,公差为,∴,∴。例6:,求。解:对上式两边同除以,得,令,则有,累加法可得,则,即。例7:。解:对上式两边同除以,得,即,则为等差数列,,公差为2,∴,∴。▼取对构造(涉及的平方)例8:解:对上式两边取对数,得,由对数运算性质得两边同时加,整理得则为公比为2的等比数列,由此推知通项公式。▼等比型(常见待定系数)例9:。解:待定系数法设上式可化为如下形式:,整理可知,则,∴原式可化为,则为公比=3的等比数列,由此推知通项公式。例10:,求。解:待定系数法设上式可化为如下形式:,整理可知,得,∴原式可化为,则为公比=4的等比数
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