数值分析分段插值.ppt

iiijjijiilxlbx?????11?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????2**********bAx?ni,,3,2?? 分段插值法§华长生制作2例.]5,5[,11)(2????xxxf设函数ninhihxnni,,1,0,10,51]5,5[????????个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10,8,6,4,2?:211)(iiixxfy???插值多项式次作Lagrangen????????????????????njnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10,8,6,4,2?-5-4-3-2-1012345--1--5-4-3-2-1012345--1--5-4-3-2-1012345--1--5-4-3-2-1012345--1--5-4-3-2-1012345--1--5-4-3-2-1012345--1-=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345--1-=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象华长生制作4结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,,如果插值多项式的次数过高,可能产生Runge现象,因此,在构造插值多项式时常采用分段插值的方法。一、分段线性Lagrange插值,ix设插值节点为niyi,,1,0,??函数值为],[,,11??kkkkxxxx形成一个插值区间任取两个相邻的节点构造Lagrange线性插值1,,2,1,0,1?????nixxhiii?iihhmax?1. 分段插值法§华长生制作6)()()(11)(1xlyxlyxLkkkkk????11?????kkkkxxxxykkkkxxxxy?????111,,1,0??nk??)(1xL???????????????nnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1(121)1(110)0(1)()()(??显然?)(1ixLniyi,,1,0,??--------(1)--------(2)我们称由(1)(2)式构成的插值多项式为分段线性Lagrange插值多项式)(1xL华长生制作7-4-3-2-101234-1-----4-3-2-101234-1-----4-3-2-101234-1-----4-3-2-101234-1-----4-3-2-101234-1----)(1xLy?的一条折线实际上是连接点niyxkk,,1,0,),(??也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果)(lim10xLh?)(xf?上连续在若],[)(baxf因此则华长生制作8)()!1()(1)1(xnfnn??????由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为)()()(xPxfxRnn??的余项为那么分段线性插值)(1xL)()()(11xLxfxR??)()()(1xLxfk??))((2)(1??????kkxxxxf?有关与且xxxxkk??],,[,1??|)(|1xR|))((|max|)(|max211????????????kkkbxabxaxxxxxf224121hM???2281hM?2. 分段线性插值的误差估计华长生制作9二、分段二次Lagrange插值分段线性插值的光滑性较差,且精度不高因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,ix设插值节点为niyi,,1,0,??函数值为1 1 1 1n , , , [ , ]k k k k kx x x x x? ???若为偶数,取相邻节点以为插值区间构造Lagrange二次插值)()()()(1111)(2xlyxlyxlyxLkkkk