微积分思想的浅见.doc

关于微积分思想的浅见小学的课本里有《曹冲称象》这篇课文,当时只是跟着老师赞叹小曹冲是多么的聪明,却不明白其中的数学思想。其实有的大臣已经想到了,就是把大象宰了,一块一块地称重,再加起来就是大象的重量,不过当时显然不能这么做。曹冲只不过是利用了简单的物理原理,把石块和大象做了代换。这是典型的“化整为零”再“积零为整”的微积分的思想。以此为引,就是要说明“微积分”并不是什么高深莫测的学问,它普遍应用于日常生活和生产。可能,面对高数书上有关“微积分”的题目抓耳挠腮的同学们在生活中却经常用微积分的思想解决问题而不自知……大家都明白,想知道一张纸的厚度,可以去测量一本书的厚度,然后再除以这本书得到页数,即得。想知道地图上弯弯曲曲的河流的长度,可以拿来一个圆规,张开一个小角度,用直尺测量出两只脚之间的距离,然后用圆规的一只脚戳在河流的源头处,另一只脚戳在河流上,随即两只脚交替前进,直到河流的尽头,数出一共走了多少步,再乘以两只脚之间的距离,即得。“微积分”就是“微分”+“积分”。“微”是“细微”,“微分”就是“无限细分”;“积”是“累积”即求和,而非“乘积”,“积分”就是“无限求和”。我们知道,扇形非常像三角形,当角度很小时,尤其明显。但扇形毕竟不是三角形,这里只是近似。可以用极限的原理证明,当角度趋近于零时,认为扇形的弧长和连接那两个端点的线段长度相等。把一个圆沿半径切成无数个细小的扇形,拿出两个小扇形,可以拼成一个小矩形,这个小矩形的长度就是圆的半径。把这些小矩形的长边贴在一起可以拼成一个大矩形。这个大矩形的面积毫无疑问就是圆的面积。大矩形的宽为圆的半径r,而长为圆周长的二分之一,即为r。高中时学过,将一个弹簧由平衡位置拉伸x的单位长度,需克服弹簧拉力做功kx2。为什么不是kx2呢?因为弹簧的拉力是变力,随着弹簧长度的增加而逐渐变大。这怎么求克服拉力所做的功呢?我们可以认为在一个相当小的范围x内,弹簧的拉力是不变的,总是为k*x,所以,在[0,x]范围内,做的功为k*(x)2。而在[x,2x]范围内,做的功为2k*(x)2………………如此累加下去,最后可以得出结果。我们发现刚才所作工作的就是在求F-L曲线与x轴构成的曲边梯形的面积!推而广之,所有的定积分题目都可以用图形来帮助理解,而碰到图形问题时也可以转化成定积分来求解。高等数学是很多专业的基础课,也是考研必考科目。很多同学始终无法理解和掌握微积分的思想,往往只会计算定积分和不定积分,牵涉到函数图象和应用题就不知所措了。这篇文章只是本人粗浅的理解,无法做到让同学们豁然开朗。我想,要真正做到对于这类题目得心应手,还是应该从基础、从微积分的定义入手去学。没有搞懂定义就去做大量的习题往往不知所谓,浪费了大量的时间。微积分的历史微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念;求积的无限小方法;积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作,欧洲的大批数学家,古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。这种方法体现了近代积分法的基本思想,是定积分概念的雏形。对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。与积分学相比,微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试,但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,但多以惯用的数值手段来处理,从而回避了连续变化率微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的着述,无论是外国人编写的,还是我国的作者;无论是过去,还是现在;大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名,却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明,我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史,对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。中华民族功不可磨,理应受到世人的承认与尊重由于“变量”作为新的问题进入了数学,,,解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七世纪初的欧洲,,,,这一时