向量的概念及表示.doc

向量概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量概念(1)向量:既有方向,又有大小量叫做向量。【注:与量与数量区别,表示向量大小称为向量模(也就是用来表示向量有向线段长度)】ABAB向量大小称为向量长度(或称为模),记作││。O(2)零向量:长度为零向量叫做零向量,记作。(3)单位向量:长度等于1向量叫单位向量。baba(5)相等向量:长度相等且方向相同两个向量叫做相等向量,若向量与相等,则记作=。2、共线向量共线向量(也称平行向量),应注意两个向量共线但不一定相等,而两个向量相等是一定共线。平面几何三点共线与两个向量共线不同:首先共线向量不考虑起点,其次明确共线向量分为如下五种情况:(1)方向相同、模相等;(2)方向相同、模不等。(3)方向相反、模相等;(4)方向相反、模不等;(5)零向量与任何向量共线。例:把平面一切单位向量始点放在同一点,那么这些向量终点所构成图形是什么?OP解:因任一单位向量始点移到同一点O时,终点一定落在以O为圆心,半径为1单位圆上,反过来,单位圆上任一点P都对应一个单位向量,故构成图形为一单位圆。(4)平行向量:方向相同或相反非零向量叫做平行向量。ababababc例: 向量、平行,记作//。c向量、、平行,记作////。(6)零向量与任一向量平行aa(7)相反向量:与向量长度相等且方向相反向量叫做相反向量。aaa记为-,与-互为相反向量,且规定:零向量相反向仍是零向量。 ABDC例:在平行四边形ABCD中,向量与向量方向相同ABDABCDC且长度相等;=。向量与向量长度相等但方向相反,是一对相反向量;=-。BCDA3、向量表示ABAB几何法:用有向线段来表示,即用有向线段起点、终点来表示,如用||表示长度。例: 如图,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形;AB①用有向线段表示与向量相等向量;AB②用有向线段表示与向量共线向量;ECDCEDAB解:①与相等向量是、、。ECDCEDAB②与共线向量是:、、。二、能力、题型设计bbac1、下面5个命题:①向量模是一个正实数;②若//,//,ca则//;③两个相等向量方向一定是相同;④两个相反向量方向一定是相反;⑤两个平行向量方向一定是相同或相反,其中正确是(D)。 、下列命题:①两个有共同起点且相等向量,共终点可能不同;②若非零向量与是共线向量,则A、B、C、D四点共线;③若a//b且b//c;④四边形ABCD是平行四边CDAB形条件是=,真命题个数为(C)。 、如图所示,在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD中点,且AB边长为4,AD边长为2,图中7个向量:、、、、、、,设=、=,则:(1)与相等向量有;(2)与相等向量有;(4)与共线向量有、、;(5)与长度相等向量有、 、、、、。4、某人从A出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点。DACDBCAB(1)作出向量、、(1cm表示200m);(2)求模。解:(1)(2)由题意知,ABCD为平行四边形;DABC∴||=||=450(m)向量线性运算一、知识、能力聚焦1、向量加法(1)向量加法定义:求两个向量与运算,叫做向量加法。aOBABOAbOBaabABaOAab例:已知向量与,在平面内任取一b点O,作=,=,则向量b叫做与与,记作+,即+=+=。oaaaaaooaaa(2)根据向量加法定义得出求向量与方法,称为向量加法三角形法则。位移合成可以看成向量加法三解形法则物理模型,对于零向量与任一向量,有+=+=,对于相反向量有+(-)=(-)+=(3)数加法满足交换律、结合律,向量加法也满足交换律、结合律abba即:+=+cbcaba(+)+=+(+)OAa例:如图所示,作平行四边形OABC,使=、bOCABaOAOC==,==abCBOCOBabABOAOB∵=+=+,=+=+abab∴+=+baOBOCOAOCaOAbab(4)由上图所知,对于两个不共线非零向量、,还可以作平行四边形求两个向量与,分别作=,=,以、为邻边作平行四边形OABC,则以O为起点地角线就是向量与与,我们把这种方法叫做向量加法平行四边形法则。二、能力、题型设计abcdAB1、用图中、、、表示向量。解:边结AC、ADbaEDAEAD在△ADE中,=+=-cbaDCADAC在△ADC中,=+=-+dCBACABcba在△ABC中,=+=-++cbacACbBCaAB2、已知正方形ABCD边长为m,=,=,=,求++模BCABcbaACACACAC解:∵++=++=+=2cacb∴|++|=2=2m向量