第三章逐次逼近法.doc

、一元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为:1)映内性x∈[a,b],φ(x)∈[a,b]2)压缩性∣φ(x)-φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L<1,此时φ为压缩算子,在不断迭代中,就可以得到最终不动点集。由微分中值定理,如果∣φ’∣≤L<1,显然它一定满足压缩性条件。2、多元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为:1)映内性xn∈Ω,φ(xn)∈Ω2)压缩性ρ(▽φ)<1,其中▽φ为xn处梯度矩阵,此时φ为压缩算子,在不断迭代中,就可以得到最终不动点集。3、当φ(x)=Bx+f时,收敛条件为,ρ(B)<1,此时xn+1=Bxn+f,在不断迭代中,就可以得到线性方程组解。4、线性方程组迭代解法,先作矩阵变换Jacobi迭代公式矩阵形式Gauss-Seidel迭代公式矩阵形式超松弛迭代法公式矩阵形式三种迭代方法当时都收敛。5、线性方程组迭代解法,如果A严格对角占优,则Jacob法与Gauss-Seidel法都收敛。6、线性方程组迭代解法,如果A不可约对角占优,则Gauss-Seidel法收敛。7、Newton迭代法,单根为二阶收敛8、Newton法迭代时,遇到重根,迭代变成线性收敛,如果知道重数m,仍为二阶收敛9、,分半法收敛速度为(b-a)/2n-110、、证明如果A严格对角占优,则Jacob法与Gauss-Seidel法都收敛。证明:首先证Jacob法收敛,因为A严格对角占优,则,于是,从而,这又有,因此Jacob迭代法收敛。再证G-S法收敛,因为,,非奇异,而,所以,从而严格对角占优矩阵一定可逆。在G-S法中,,从而,求矩阵特征值时,只能是,因为A严格对角占优,,如果,两边乘,这说明矩阵仍然严格对角占优,前面已证明,该行列式不能为0,这是一个矛盾。因此,只能是,而这恰好说明Gauss-Seidel迭代法收敛。2、证明:如果A对角元非零,超松弛迭代法收敛必要条件是证明:令,如果超松弛迭代法收敛,应该有而,从而必须满足。3、剖析方程2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10是否有实根,确定根所在区间,写出求根Newton迭代公式,并确定迭代初始点。解:因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根,Newton迭代公式为/(),x0=、由求Newton迭代公式证明:对一切是递减序列。证明:首先,如果中xk>0,于是。又因为k=1开始5、若f(x)在零点ξ某个邻域中有二阶连续导数,并且f’(ξ)≠0,试证:由Newton迭代法产生xk(k=0,1,2,…)有证明:由Taylor公式,6、证明:*n,对任意范数有,证明:首先存在某种范数所以,取得到,对不等式同时取极限即得到再根据范数等价性对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果7、确定常数p,q,r,使如下迭代法收敛到,该方法至少几阶?解:,一个迭代格式,在根附近它p-1阶导数为零,、选择与填空:1)、对于迭代过程,xn+1=φ(xn),若迭代函数在x*邻域有连续二阶导数,且,则迭代过程为超线性收敛。(不正确),xn+1=φ(xn)迭代收敛条件有两条,1)映内性xn∈[a,b],φ(xn)∈[a,b]2)压缩性。更不能保证有超线性收敛,例如:用Newton迭代法求任何非线性方程均局部平方收敛。(不正确)若线性方程组Ax=b系数矩阵A为严格对角占优,则Jacobi迭代法与G-S迭代法都收敛。(正确)解非线性方程f(x)=0弦解法迭代具有()。局部平方收敛;(B)局部超线性收敛;(C)线性收敛任给初始向量x(0)及右端向量f,迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛于方程组Ax=b精确解x*充要条件是()。设φ(x)=x-β(x2-7),要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收敛到x*=,则β取值范围是()。用迭代法xk+1=xk-λ(xk)f(xk)求f(x)=x3-x2-x-1=0根,若要使其至少具有局部平方收敛,则()。用二分法求x3-2x-5=0在[2,3]内根,并要求,需要迭代(18)步。求f(x)=5x-ex=0在[0,1根,迭代函数简单迭代公式收敛阶为(线性);Newton迭代公式函数();其收敛阶为(二阶)。给定方程组,a为实数,当a满足(),且0<w<2时SOR法收敛。解:超松弛迭代格式现A对称,再加上正定就一定收敛,2、用列主元消去法解方程组Ax=b,其中A=,b=对所求结果x,使用三次迭代改善后,解精度能否有明显提高?4、设有线性方程组=,其精确解x*=(1,1,1)T,现用Gauss列主元消去法,得到近似解x(1)=(,,)T,试用