一类采取隔离措施的非线性传染率传染病模型的全局稳定性.pdf

第卷第期大学数学.,№.
年月.
一类采取隔离措施的非线性传染率
传染病模型的全局稳定性
李大治
南通大学理学院,江苏南通
摘要讨论一类采取隔离措施的非线性传染率传染病的数学模型,得到了基本再生数的表达式,
当时,仅存在无病平衡点,是全局渐近稳定的;当时,存在两个平衡点,其中无病平衡点不稳定,
地方病平衡点全局渐近稳定.
关键词非线性传染率;隔离;基本再生数;全局渐近稳定
中图分类号. 文献标识码文章编号——
引言
,以易
感者为对象采取预防接种是一种有效的措施,而以染病者为对象,对其进行隔离,也是一种常见的公共
,减少病原体的向外扩散,,对采
取隔离措施的传染病模型的研究也是引人关注的课题.
本文研究了采取隔离措施且进行了预防接种;传染率,即在单位时间内,平均一个能传染的病人所
感染的新病人数是易感类人口总数的函数;人口有常数输入的终生免疫传染病的动力学模型,
得到了基本再生数的表达式,找出了平衡点,讨论了它们的稳定性.
数学模型
把时刻的总人口数￡分为易感者类,能传染者类,被隔离者类和移出者类四部分,以,
￡,,分别表示在时刻这四类的人口数;以表示人口的常数输入率,即单位时间内输入的
人口总数,设他们均为易感者;以表示隔离系数,即单位时间内能传染者类中被隔离的人数比例;以
和分别表示能传染者类和被隔离者类的恢复率系数,即单位时间内这两类人中各自被治愈的比例;以
表示自然死亡率系数,表示疾病死亡率系数,表示成功接种率;疾病的传染率为厂,则疾病的发
生率,即单位时间内新增的病人数为厂;又设该疾病是终生免疫的,则建立如下的传染病动力学模
型:

一厂一,
一一,
【,
￡一￡￡.
收稿日期——; 修改日期—
基金项目南通大学自然科学基金
大学数学第卷
由得一——.所以当疾病不存在时, 一
, 且当时, ;再由
的第一个方程可知,当疾病不存在时, 一,且当时, · 的全部解
,,,最终将趋向,进入或停留在区域
一,,,≤≤,≤,≤,≤,≤
,是单位时间内平均被一个能传染的病人所感染的新病人数,所以,一般应
具有以下性质:
①厂一; ②当时, 厂≤; ③.
另外,—设④在厂的值域中.
主要结论
引理的初值,,,∈的解￡,,,,∈,,
即是的正向不变集.
证因一。一, 。一,一。一,:。一,口:导一一口
,所以是的正向不变集.
引理记一, ,而’则
当≤时,仅有无病平衡点,,,,冥中

。一, 。一, —, 。
, ;
,
当时,有两个平衡点:无病平衡点。和地方病平衡点,,,,其中
::厂,一,一革≥,一.
证由的性质③和④,则~, 一,一,一,立即得到平
衡点。和的表达形式.
因。一,。一,。一,。,且。。。一““南\“/一¨,所以。.
当一时,和。重合
当时,』厂一一,则,,当≤时,
在力中仅有无病平衡点。.
当时, 一,则一口,又,