函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用.pdf

解题研究函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用(江苏省响水中学高数组 224600 ) 魏立国含参数不等式中字母参数取值范围的确定, 一直是高考和竞赛的热点问题,也是考生最头疼的问题,本人就函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用,例说如下: 1 利用“作差、作商判断函数单调性”来确定例 1 设函数 f (x )= x 2+1 -ax,其中 a ∈ R ,求 a的取值范围,使函数 f (x )在区间[0 , +∞)上单调函数. 分析:f (x 1)-f (x 2)= x 21+1 -ax 1- ( x 22+1 -ax 2)= x 21+1 - x 22+1 -a (x 1-x 2)= x 21-x 22 x 21+1 + x 22+1 -a (x 1-x 2)= (x 1-x 2)( x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 -a ), 若 f (x )在 x∈[0 ,+∞)上单调递增,x 1< x 2,x 1、 x 2∈[0 ,+∞),则 x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 - a>0恒成立,即 a小于 x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 最小值,而 x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 可以趋近于 0 ,所以 a≤ 0时,f (x )在 x∈[0 ,+∞)上单调递增,若 f (x )在 x∈[0 ,+∞)上单调递减,则对Π x 1、 x 2 ∈[0 ,+∞)有 x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 -a<0恒成立,又 x 1+x 2 x 21+1 + x 22+1 可以趋近于 1 ,所以 a≥ 1时,f (x )在 x∈[0 ,+∞)上单调递减. 例 2 已知函数 f (x )=log 3(ax+b ),图像过 A (2 ,1 )和 B (5 ,2 ). (1 )求函数解析式. (2 )记 a n=3 f (n ),n∈ N 3,是否存在正数 k, 使(1 + 1a 1 )(1 + 1a 2 )?(1 + 1a n )≥ k 2 n+1 ,对一切 n∈ N 3均成立,若存在,求出 k最大值,若不存在,说明理由. (1 )易求 f (x )=log 3(2 x-1 ); (2 )分析 a n=3 f (n )=2 n-1 . 则问题转化为对一切 n∈ N 3是否存在 k> 0 ,使如图 11 (2 )所示的分割线,拼出如图 11 (3 )所示的新正方形. 请你参考小东同学的做法,解决如下问题: 图 11 现有 10个边长为 1的正方形,排列形状如图 11 (4 ),请把它们分割后拼接成一个新的正方形. 要求:在图 11 (4 )中画出分割线,并在图 11 (5 )的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为 1 ) 中用实线画出拼接成的新正方形. 简析:本题一道融阅读理解、动手操作、合理探究于一体的几何试题,题型新颖,充满活力,且又使学生感兴趣,题目要求学生合理分割,进行拼接,在给出范例的基础上进行类似的探究, 11 (4 )与图 11 (5 ). 2 4 解题研究(1 + 1 2× 1 -1 )(1 + 1 2× 2 -1 )?(1 + 1 2 n-1 )≥ k 2 n+1 ,如果存在,求出 k的最大值,问题等价于(1 + 1