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三角形中的奥秘——探求新知,感受三角形魅力鳌江第四中学:国摘要:本文通过基本的图形——三角形,并添加各种不同的辅助线,从而得到不同的三角形,通过对其三角形的面积及线段之间的巧妙结合,即借助图形的直观性来证明许多定理,将问题简单化,从抽象变具体。关键词:三角形共边比例定理蝴蝶定理塞瓦定理一、问题的引出数学无处不在,它存在于我们生活的每一个角落,从开花到结果再到落叶,无不蕴涵着无穷的数学奥秘,我们在数学的海洋中遨游,徜徉,领略了数学中无限的美好时光。其实每个人都在生活中有看到了许许多多的图形,如:自行车的支架就是利用了三角形的稳定性,那么三角形与它两边,及不同三角形之间又有什么联系呢?这个问题,引起了我的思考,并由此展开对一条列相关的问题进行了深入的探讨与研究。二、对不同三角形之间的初步探求我们常常看的栅栏,基本呈现出如图1-1的图形,我们就可以借助此来进行研究。如图1-1已知AB//CD,我们很容易得出△AOB∽△DOC从而得出======图1-2图1-1如果我们将AC,BD连结就会得到图1-2过B作BP则有于是我们可以将图1-2进行变换得到一些基本图形如图1-3,图1-4,图1-5所示,图1-5图1-4图1-3同理可得通过借助不同三角形的面积与相应边的关系,运用基本求三角形面积的方法,及相似三角形对应边的关系证明出了共边比例定理,让我领略到三角形的简洁性与直观性,激发了我继续探究的兴趣。三、由共边定理引出塞瓦定理如图1-6,在△ABC中,若有AD、BE、CF相交于点P,则由共边比例定理,有以上三式相乘反之,若有记有=由已知有,即AD,BE,CF三线共点。当然这只是证明塞瓦定理的一种方法。这种证明方法让我充分感受到了三角形的变化性及解决数学问题的直观性与准确性。四、三角函数与蝴蝶定理我们已经学过了三角函数,其实我们不难得出S△=。因此我们可以通过此与共边定理来证出蝴蝶定理。如图1-7AB为圆中的一条线,过AB中点P任作弦EF,GH,设EH,GF分别交AB于点C,D,则CP=DP证明由AP=BP知,只须证明证明如下:由于此处R为圆之半径代入后发现只需证显然这是成立的,因为由