傅立叶变换的一个最大的问题是:它的参数都是复数,在数据的描述上相当于实数的两倍。为此,我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。
在此期望下,产生了DCT变换。
离散余弦变换
1974年提出,距傅立叶变换152年。
给定实数序列{f(x);x=0,1,2…N-1}将此序列以x=-1/2为轴做偶对称镜像该序列,形成2N点序列g(x)。
1
2
3
4
5
6
-1/2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
f(x)
g(x)
1
2
3
4
5
6
x
x
对g(x)做傅立叶变换
利用对称性,对上式的第一项做变量代换y=-x,有:
通常把余弦变换归一为:
归一化系数:
离散余弦变换反变换:
矩阵表示:F=Cf
反变换:f=CTF
关于(-1/2,-1/2)对称的偶函数
二维余弦变换
折叠镜像
二维余弦变换为
二维余弦反变换为
归一化系数:
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