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类比法在电路分析中的应用F09030035090309181郑家骁摘要:本论文讨论了类比其他物理模型,从而简化高阶电路分析的可行性与具体实现方法。然后讨论通过类比特定电路模型解决其他问题的方法关键词:类比法电路分析机械振动光速前言:众所周知,电路分析的基本方法是根据电路元件的拓扑关系和KVL,KCL定律,列出方程,再结合支路元件的电气特性进行求解。而动态元件的出现将会导致列出的方程可能包含高阶微分项,给求解带来麻烦。而恰当使用类比法,就可以将复杂的高阶电路转化成相对简单的物理模型进行求解正文:类比机械振动求解高阶电路响应首先我们可以从一个简单但是典型的例子入手探讨求解的方法。如图是一个没有激励源的RLC串联回路,试求其零输入响应。这个电路对应电路方程是二阶齐次微分方程:(取电容带电量Q为因变量)图1RLC串联电路QC+Ld2Qdt2+RdQdt=0(1)求解这个方程是有一定难度的。-bv下面我们再看我们较为熟悉的物理模型:弹簧振子机械振动。如图是一个弹簧振子系统,取向右为正方向,假定振子系统在振动时还受到与速度方向相反,大小正比于速度大小的阻力bv,则根据牛顿第三定律,其力学方程可写为:图2弹簧振子系统-kx-bdxdt=md2xdt2化简可得:md2xdt2+bdxdt+kx=0(2)比照(1)(2)两式,不难发现,若令k=1C,m=L,R=b,x=Q,则两个方程完全相等,所以这种形式的振子系统和RLC串联电路完全可以一一对应起来。根据我们非常熟悉的力学推导结果,阻尼振子运动方程的解为:令ω0=kmβ=b2m欠阻尼情况:当β2<ω02时x=A0e-βtcosωt+φ(3)式中ω=ω02-β2<ω0而A0=x0过阻尼情况:当β2>ω02时x=c1e-(β-β2-ω02)t+c2e-(β+β2-ω02)t(4)临界阻尼情况:当β2=ω02时x=c1+c2te-βt(5)不失代表性,本文仅讨论欠阻尼情况下的解,其他情况类似,读者可自行讨论。令k=1C,m=L,R=b,x=Q,代入(3)式,可得Q=Q0e-R2Ltcos1LC-b24m2+φ(6)两侧同除以C可得:Uc=Uc0e-R2Ltcos1LC-b24m2+φ(7)这个式子与我们使用经典法解出的表达式结论是一样的。以上只是最简单的电路,那么如果电路的拓扑结构更加复杂一些又该怎么样呢?我们可以在RLC电路中再串联进一个电感,记为L’,显然,(1)式改写为QC+(L+L')d2Qdt2+RdQdt=0(8)而若在弹簧振子模型中振子的另一端再连接一个一端固定的弹簧k’,(2)式改写为(m+m')d2xdt2+bdxdt+kx=0(9)若想重新建立起对应关系应满足k+k'=m+m',则m’=k’.可见若是在回路中添加串联电感对应着振子质量的增加。同理,添加并联电感对应振子质量倒数的增加;并联电容对应振子劲度系数增加,串联电容对应振子劲度系数倒数增加。当然,也可以选取回路中其他参量(例如电流)作为因变量,此时对应构建的振子模型参数与电路参数的对应关系将发生变化,在此不再赘述。类比法求解电路方程在电路比较简单的时候具有计算简便速度快的优点,但是在电路较为复杂的时候由于对应的振子模型难以构建,或者即使构建出来,振子模型也需要另外求解,因而并不适用。类比电路求解其他物理模型:本文以求解光速为例,讨论类比电路在求解其