定积分讲义.docx

课程安排: 2 学期,周学时 4,共 96 学时. 主要内容:定积分的计算要求:听课、复习、作业本次课题(或教材章节题目) :第五章定积分第一节定积分的概念与性质教学要求: 1. 了解定积分的概念 2. 掌握定积分的性质重点:定积分的性质难点: 1. 定积分的概念 2. 定积分的性质教学手段及教具:讲授为主讲授内容及时间分配: 1 复习 5 分钟 2 定积分问题举例 15 分钟 3 定积分定义 15 分钟 4 定积分的性质 30 分钟 5 例题及练习 25 分钟课后作业参考资料定积分的概念与性质一、复习不定积分的概念二、定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线)(xfy?)0)((?xf 、)(xfy?)0)((?xf 、bx?所围成(如图 1).图1 提问: 怎样求曲边梯形的面积? 方法: 分割近似求和取极限(1) 分割: 用分点 bxxxxxa nn????????1210?把区间],[ba 分成 n 个小区间?? 1?iixx, ,各小区间的长度依次为: 1???? iiixxx ,),2,1(??i ,在各分点处做 y 轴的平行线, 就把曲边梯形的面积分成 n 个小的曲边梯形(2) 近似: 在各小区间?? 1?iixx, 上任取一点 i?),2,1(??i ,以)( if?为高,ix?为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积 iA?,即iiixfA???)(?,),2,1(??i (3) 求和: 整个大的曲边梯形的面积等于 n 个小曲边梯形的面积之和,即????? ni iAA 1??? ni iixf 1)(?(4) 取极限: 设},, max{ 21nxxx??????,i ni ixfA?????1 0)( lim ??dxxf ba?)() )((abf???.)(ba???三、定积分定义 1. 定义设函数)(xf 在],[ba 上有界, 在],[ba 中任意插入若干个分点????? 210xxxabxx nn????1 把区间],[ba 分成 n 个小区间,各小区间的长度依次记为 1???? iiixxx ,),2,1(??i , 在各小区间上任取一点 i?(iix???), 作乘积 iixf?)(?, ),2,1(??i ,并作和 ii nixfS????)( 1?, 记},,, max{ 21nxxx??????, 如果不论对],[ba 怎样的分法, 也不论在小区间],[ 1iixx ?上点i?怎样的取法, 只要当 0??时,和S 总趋于确定的极限 I , 我们称这个极限 I 为函数)(xf 在区间],[ba 上的定积分, 记为??? baI dxxf)( ii nixf????)( lim 1 0??其中)(xf 叫做被积函数? dxxf)( 叫做被积表达式?x 叫做积分变量?a 叫做积分下限?b 叫做积分上限?],[ba 叫做积分区间?说明: (1 )积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关.? ba dxxf)(?? ba dttf)(?? ba du uf)( (2 )定义中区间的分法和 i?的取法是任意的(3 )当函数)(xf 在区间],[ba 上的定积分存在时,称)(xf 在区间],[ba 上可积. (4)?? ba dxxfA)( 曲边梯形面积 2. 定积分存在定理定理 1 当函数)(xf 在区间],[ba 上连续时,则)(xf 在区间],[ba 上可积. 定理 2 设函数)(xf 在区间],[ba 上有界, 且只有有限个间断点,则)(xf 在区间],[ba 上可积. 3. 定积分的几何意义,0)(],[1?xfba上)在(?? baA dxxf)( 曲边梯形的面积(2),0)(],[?xfba上在?? baA dxxf)( 曲边梯形面积的负值(3) 上变号, 在若],[)(baxfx?? dxxf ba)( 下方的面积轴上方的面积?x 4. 定积分的性质规定: 当ba?时,0)(?? ba dxxf ; 当ba?时,???? ab ba dxxf dxxf)()( . 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小性质 1?? ba dxxgxf )]()([?? ba dxxf)(?? ba dxxg)( 性质 2??? ba ba dxxfk dxx kf)()( (k 为常数). 性质 3 (定积分对于积分区间具有可加性) 假设bca??,? ba dxxf)(???? bc ca dxxf dxxf)()( . 推广:不论 cba,, 的相对位置如何, 下式总成立.? ba dxxf)(???? bc ca dxxf dxxf)()( . —+)(xfy? y 性质 4 dx ba?? 1 dx ba??ab??性质 5 (不等式性质) —