解函数方程地几种方法.doc

绪论在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题,在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题,在航空技术、遥感技术、经济学理论、,,涉及面广,难度大,,函数方程是最基本、最易出现的问题,,,,较大一部分中学生在遇到这类问题时,,及解决问题的途径,,我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、,利用函数与方程的基本性质,,(代换法)、赋值法、迭代周期法(递推法)、待定系数法等均会加重笔墨,尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法,而对于不常用的方法本文也会提到,,就种种方法进行总结归纳.“法无定法”,关键在于人们对问题的观察、分析,,由于解决的途径并不唯一,所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解,,,等,,,、奇函数、,只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数,或求出某些函数值,,解题的方法也形式多样,出现较为频繁的有换元法(代换法)、赋值法、迭代周期法(递推法)、待定系数法、(代换法)(代换时应注意使函数的定义域不发生变化),得到一个新的较为简单的函数方程,,某些换元会导致函数的定义域发生变化,,,要求解函数的表达式,,我们可以先用换元法把,用代替,消去,,就得到一个关于的解析式,再用替代,,,所以,因为,所以,,所以,,故,.解法二设所求函数的参数表达式,,即得,(1).(2),消去参数,得,整理,得,,,即,,.在本题中,由于三角函数可以相互转化,很容易看出与之间的联系,然后直接利用换元法进行转化,但考虑到(或)的定义域,,根据所给条件,在函数定义域赋与变量一个或几个特殊值,使方程化繁为简,(为非负整数),满足:(i)对任意非负整数,有;(ii)对任意,,(i)、(ii)可以联想到的取值是本题的关键,而分别利用条件(i)、(ii)进行推导,并结合反证法推出矛盾,得到的唯一值,,(ii)得.(1)若,则,,由(i)有.(2)若,则,于是由(i),得,(3)但(2)与(3)矛盾,,式(1)为,此函数满足条件(i)、(ii),,,对于一个方程,首先想到的就是消元,考虑到三角函数的特殊性质,可用一些比较特殊的值分别去代换,,得,(1)再令,得,(2)又再令,得,(3)(1)+(2)-(3),并将换成得,(,均为任意常数).代入(1)(1),首先它考验人们的“眼力”,即根据所给出