定积分应用.ppt

第七章定积分的应用内容导航微元法思想定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在经济上的应用第七章定积分的应用前言在此前,学习了定积分的意义,涉及由定积分求面积和路程;又讨论了通过不定积分求定积分的各种方法。在本章中,我们将应用定积分来解决几何、物理、经济中的各种问题定积分的微元法思想分割区间取近似值作和取极限(1)细分区间(2)取近似值(3)求和(4)取极限回顾求曲边梯形面积的步骤S曲:将曲边梯形面积分成n个窄曲边梯形上述关键步骤是第二步,取近似值,为方便,以后记取任一子区间[x,x+dx],以此矩形面积近似替代小曲边梯形面积,这种简化后的方法称为微元法x0yy=f(x)dA=f(x)dxabxx+dx7-1定积分在几何上的应用一、平面图形的面积由定积分的几何意义“有号面积”,可以直接得到求平面图形的面积公式: 例1计算曲线y2=x,y=x2所围成的图形的面积。解一先求两线的交点(右图)x=y21xyoy=x2解二微元法思想,先求出两线的交点(0,0),(1,1)在[a,b]上任取子区间[x,x+dx]x=y2X+dxxyoy=x2x11定积分求平面图形的方法步骤:(1)求曲线交点并画草图;(2)确定求哪块面积,进行“面积组合”;(即由定积分表示的曲边梯形来划分这块面积,哪些该加,哪些该减,注意“曲边梯形”一定是以x轴为一边,两条竖直线为另两边);(3)以x的范围确定积分上下限;用定积分表示这块面积;(4)求定积分。总结:定积分求平面图形面积的类型acbcedabcde“面积组合”--即将这块图形划分为[-2,ln2],[ln2,2]两个区间,对应两部分的面积和为:xy2ln2-2y=ex-20例2 求曲线y=ex-2在区间[-2,2]间与x轴所围成的图形的面积。解作y=ex-2图像(下图)(由y=ex平移)求交点为(ln2,0)例3 求 y2=2x与y=x-4所围成的图形的面积。xyy=x-404-282y2=2x解一先求y2=2x与y=x-4的交点(2,-2),(8,4)(作图如右)面积组合,以x=2为界划分为两块面积,并由对应方程得解二:微元法,对x变元积分解三:微元法,对y变元积分例5求由曲线r=r(θ)(极坐标)及射线θ=α,θ=β围成图形面积。极坐标下求面积rαβdθr=r(θ)解:在[α,β]上任取一子区间[θ,θ+dθ]近似看作扇形