内切球、外接球问题--原创..doc

1 专题讲解: 处理球的“内切”“外接”问题外接球内切球问题专题一一、球与棱柱的组合体问题: 1 正方体的内切球: 设正方体的棱长为 a ,求( 1 )内切球半径;( 2 )外接球半径;( 3 )与棱相切的球半径。(1 )截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 2 aR?; (2 )与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 aR2 2?。(3) 正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5 ,以对角面 1 AA 作截面图得,圆 O AA 11 的外接圆,易得 aOAR2 3 1?? 2. 在球面上有四个点 P 、A 、B 、C . 如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且a PC PB PA???,求这个球的表面积是______ . 【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 3. 已知底面边长为 a 正三棱柱 111CBA ABC ?的六个顶点在球 1O 上,又知球 2O 与此正三棱柱的 5 个面都相切,求球 1O 与球 2O 的体积之比与表面积之比。分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。解:如图 6 ,由题意得两球心 1O 、2O 是重合的,过正三棱柱的一条侧棱 1 AA 和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为 a ,则 aR6 3 2?, 正三棱柱的高为 aRh3 32 2??, 由 ODA Rt 11?中,得 2 2222 22112 56 33 33 3aaaRaR?????????????????????????????图3图4图5图6 2 ,aR12 5 1??1:5:: 22 2121???RRSS ,1:55: 21?VV 二棱锥的内切、外接球问题 4. 正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解: 如图 1 所示, 设点O 是内切球的球心, 正四面体棱长为 a . 由图形的对称性知,点O r ,外接球半径为 R . 在 BEO Rt?中,222 EO BE BO ??,即2 223 3raR??????????,得aR4 6?,得 rR3?【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为4 h (h 为正四面体的高) ,且外接球的半径 4 3h ,从而可以通过截面图中 OBE Rt?建立棱长与半径之间的关系。 5. 正三棱锥 S ABC ?,底面边长为 3 ,侧棱长为 2 ,则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥 S ABCD ?,底面边长为 2 ,侧棱长为 3 ,则其外接球和内切球的半径是多少练习: 1. (球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 2.( 球内接长方体问题) 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为。 3 .设, , , P A B C 是球O 面上的四点,且, , PA PB