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平面内矢量的复矢量计算法
[摘要] 本文提出了解决平面内矢量计算问题的一种方法——复矢量计算法。这种方法是把矢量式表示成复矢量式,利用复数计算法,把某矢量的复矢量计算出来,再根据矢量与复矢量的对应关系得出矢量的大小和方向。
[关键词] 平面内矢量; 复矢量计算法
物理学中,有关矢量的计算问题一般是采用正交分解与合成的方法,先计算矢量的大小,最后再确定所求矢量的方向。我们都知道,复数有实部和虚部,用它可以表示二维空间的矢量。如果把复数的计算方法引入平面内矢量的计算,可把矢量的大小和方向同时算出,将给计算带来极大的方便。
一、复矢量的概念
(a) (b)
图Ⅰ
y

θ
o x
y

θ
o x
矢量是既有大小又有方向的量,为了把矢量的两个特性同时表示出来,引入复矢量概念。某矢量A在直角坐标系中的表示如图Ⅰ(a)所示。现在把矢量A表示成复数形式,这个复数叫复矢量,记为。这是复矢量的极坐标形式,它在复平面内的直角坐标系中的表示如图Ⅰ(b)所示,x轴为实轴,y为虚轴。A是复矢量的模,表示矢量A的大小;是复矢量的幅角,表示矢量A的方向。规定从实轴的正方向逆时针转动的幅角为正,从实轴正方向顺时针转动的幅角为负。幅角取值范围是:-180°≤θ≤180°。一个已知矢量,它的复矢量是唯一确定的。矢量和它的复矢量一一对应,只是表示形式和运算方法不同。复矢量的运算与复数的运算方法相同。
二、矢量表示成复矢量的方法

把某矢量的前加一个“复”字即可。如复力、复加速度。

如力F的大小为3N,方向是东偏北30°。把它表示成复力时,建立如图Ⅱ(a)的直角坐标系,x、y轴的正方向分别指向东和北,力的方向即可表示出来,把
F的大小和方向写成复数的极坐标形式就是复力N。符号上的“.”表示它与矢量的区别,因为是复矢量。
y

30°
o x
(a)
y

o x
g
(b)
图Ⅱ
又如把重力加速度g表示成复重力加速度时,选坐标系如图Ⅱ(b)所示,则。复矢量与坐标系方位的选取有关。通常选平面内水平向右为x轴的正方向,竖直向上为y轴的正方向。

例如牛顿第二定律F=ma表示成复矢量公式形式为,即把矢量公式中所有的矢量表示成复矢量,其公式形式不变。
又如动量守恒定律的矢量公式
复矢量公式形式为。
下面以两个力的合成为例证明用矢量合成法与用复矢量计算法所得的结果一致。
(1)如图Ⅲ所示,直角坐标系中夹角为θ的两个力F1和F2。合力为F=F1+F2
正交分解 Fx=F1+F2cosθ
Fy=F2sinθ
y
F2 F
θ
φ
o F1 x
图Ⅲ
合力大小F=
合力与F1(x轴正方向)的夹角为
(2)用复力求合力F的大小和方向
F的大小
F的方向
(a) (b)
图Ⅳ
90°
A
120° 60°

y

o 90° x
120° 60°


上面以力的合成为例证明了用复矢量计算方法所得结果与矢量合成方法所得结果是一致的。像F=F1+F2的矢量式是不能直接计算的,若把它表示成复矢量式就可以直接计算出合矢量F的大小和方向若把二维空间内的物理矢量公式表示成复矢