清华大学数值分析实验报告.doc

清华大学数值分析实验报告.doc数值分析实验报告一、:-7-15,b=•..1156_14161••♦♦•••868则方程有解x*=(l,l,...,l),取考虑线性方程组Ax^b,AeR”&,bwR〃,编制一个能自动选取主元,又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss消去过程。68(1)取矩阵4=〃=10计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全选主元Gauss消元方法求解,结果如何?(2) 现选择程序中手动选取主元的功能,每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元,观察并记录计算结果,若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元,结果又如何?分析实验的结果。(3) 取矩阵阶数n=20或者更大,重复上述实验过程,观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异,说明主元素的选取在消去过程中的作用。(4) 选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵,计算其条件数,重复上述实验,观察记录并分析实验的结果。,分析各种算法消去过程的计算公式,顺序高斯消去法:第k步消去中,设增广矩阵B中的元素工0(若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵,停止计算),则对k行以下各行计算/汰=字,i=k+l,k+2,・・",4分别用f乘以增广矩阵B的第妇亍并加到第k+l/+2,…,〃行,则可将增广矩阵B中第化列中云?以下的元素消为零;重复此方法,从第1步进行到第n・l步,则可以得到最终的增广矩阵,即fiW=A{n\b{n};列主元高斯消去法:第k步消去中,在增广矩阵3中的子方阵中,选取就)使得nn=max|就)|,当M时,对B中第R行与第4行交换,k<i<n1然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。重复此方法,,就可以得到最终的增广矩阵,即B(nl)=胛,狎;完全主元高斯消去法:第k步消去中,在增广矩阵8中对应的子方阵中,选取或使脖)nn=max忒k^i<nk£询则对B中第k行与第4行、第化列与第人列交换,然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此方法,,就可以得到最终的增广矩阵,即以〃2)=[欢2"(〃2)];接下来,分析回代过程求解的公式,容易看出,对上述任一种消元法,均有以下计算公式:从〃)(//)'ami研-1邸%Xk= ;*=〃一1,"一2,・・・,14实验程序的设计一、 输入实验要求及初始条件;二、 计算系数矩阵A的条件数及方程组的理论解;三、 对各不同方法编程计算,并输出最终计算结果。计算结果及分析(1)先计算系数矩阵的条件数,结果如下,=,=,=,故此问题属于病态问题,b或A的扰动都可能引起解的较大误差;采用顺序高斯消去法,计算结果为:0 • •0 •IOOOOOOOMtQOMO0 *^00000000^^?0t4M4^ke-l<最终解为X=(,,,,,,,,,)t使用无穷范数衡量误差,得到£=X-X=-14,可以OO发现,采用顺序高斯消元法求得的解与精确解之间误差较小。通过进一步观察,可以发现,按照顺序高斯消去法计算时,其选取的主元值和矩阵中其他元素大小相近,因此顺序高斯消去法方式并没有对结果造成特别大的影响。若采用列主元高斯消元法,则结果为:till最终解为x=(,,,,,,,,,)T同样使用无穷范数衡量误差,有£=X-X*=0;oo若使用完全主元高斯消元法,则结果为A3■最终解x=(,