同济大学---高数上册知识点.docx

高等数学上册复习要点」、函数与极限函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;4、 函数的连续性与间断点;函数f(x)在Xo连续 >limf(x)二f(x°)XTXo‘第一类:左右极限均存在•间断点可去间断点、:左右极限、至少有一个不存在•无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、、 定义数列极限limXn=a=pea。,mNEN,x/n>N,x^a<snT°o函数极限limf(x)=A=*>0,我>0,%,当0^|x-x°|"时,f(x)-A—XrXo左极限:f(X0)=limf(X) 右极限:f(X。)=limf(x)XTXo IXolimf(x)二A存在二f(x0)=f(x0)X_;Xo2、 极限存在准则夹逼准则:1)y^X^Zn(n-n°)2)limyn=limzn=a丿n^^ n-^climxn二an》::单调有界准则:、 无穷小(大)量定义:若lim〉二0则称为无穷小量;若lim〉八:则称为无穷大量无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k阶无穷小Th1:~ :二:o(:)•Th2-〜:,〜,lim一存在,arlim—=alim—(无穷小代换)4、 求极限的方法单调有界准则;夹逼准则;极限运算准则及函数连续性;两个重要极限:「sinx彳a)li叫1 b)Xr°x无穷小代换:(x>0)1lim(1x)xXr0lim(V-)^ex』:xa)x~sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanxb)1-cosx〜—Xex-1〜x(ax-1〜xlna)xIn(1x)〜x(loga(1X)〜厂Ina(1x):_1〜:x导数与微分1、(一)导数左导数:fHimf(x)—f(x0)xtxcT X-X0右导数:f(X0^limf(x)—f(x0)XTX。 X—X0x>xo定义:f(xo“”函数f(x)在Xo点可导二f_(Xo)=f(Xo)2、 几何意义:f(X。)为曲线y=f(x)在点xo,f(Xo)、 可导与连续的关系:4、 求导的方法1) 导数定义;2) 基本公式;3) 四则运算;4) 复合函数求导(链式法则);5) 隐函数求导数;6) 参数方程求导;7) 、 高阶导数1)定义:歸—2n(n) k(k)(n_k)2) Leibniz公式:uvk=0(二)微分1)定义:y二f(X。 X)-f(x。)=Axo(x),其中A与:)可微与可导的关系:可微=可导,且dy二f(xQyx=f(xg)dx三、微分中值定理与导数的应用中值定理1、 Rolle罗尔定理:若函数f(x)满足:1)f(x)C[a,b];2)f(x)D(a,b);3)f(a)=f(b);贝S:(a,b),使f(J=、 Lagrange拉格朗日中值定理*:若函数f(x)满足:1)f(x)C[a,b]; 2)f(x)D(a,b);则.(a,b),使f(b)-f(a)=f()(b-a).3、Cauchy柯西 中值定理:若函数f(x),F(x)满足:1)f(x),F(x)C[a,b];2)f(x),F(x)D(a,b);3)F(x)=0,x(a,b)则(a,b),使f(b)-f(a)F(b)-F(a)f()F()洛必达法则(三) Taylor公式(四) 单调性及极值1、单调性判别法:f(x)・C[a,b],f(x)・D(a,b),则若f(x)0,则f(x)单调增加;则若f(x)”0,则f(x)、 极值及其判定定理:必要条件:f(x)在X。可导,若X。为f(x)的极值点,贝“「(Xo)=:f(x)在X。的邻域内可导,且f〈Xo)=O,则①若当X:;X。时,f(X)0,当XX。时,f(X)“0,则X。为极大值点;②若当X”X。时,f(x)",当XXo时,「(X)。,则Xo为极小值点;③若在Xo的两侧f(X)不变号,)第二充分条件:f(X)在X。处二阶可导,且「(Xo)=。,厂(Xo)=。,则①若f(X。)。,则Xo为极大值点;②若「(X。)•。,、 凹凸性及其判断,拐点f(X)在区间I上连续,若一Xi,X2T,f(Xl2X2)::f(Xl)2f(X2),则称f(x)在x+xf(x)+f(x)区间I上的图形是凹的;若一Xi,X2,I,f(丄訂) 七-,则称f(x):f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则若一x(a,b),f(x)^,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;若-x(a,