毕业论文初稿孙宗云.doc

毕业论文初稿孙宗云.doc吉首大学JISHOUUNIVERSITY毕业论文(设计)题 目积分中值定理的拓展作 者胡波所属学院数学与计算机科学学院专业年级08级信息与计算科学指导教师曾繁富 职称 教授写作时间2012-4一9言首大学教务处枸[摘要]:本文对定积分中值定理作了改进,指出并证明了“中值”必可在开区间(。,幻内部某点取到,并旦讨论了区间[尤,4+1]上的积分中值定理在XT+8时的中间点的渐近性态,证明了在一定的条件下,积分中值定理的中间点趋向于区间中点。[关键词]:积分中值定理;连续函数性质(最大最小值定理,介值性定理,根的存在定理,迫敛性);中间点;渐近性质Abstract:Thispaperimprovesthetheoremofthedefiniteintegralmiddlevalue,indicatedandprovedthemiddlevaluecanbefoundintheopeninterval(a,b),andtheasymptoticpropertyoftheintermediatepointofthemeanvaluetheoremfortheintegraloftheinterval+1Jisdiscussed,undersomeconditionsitisprovedthattheintermediatepointapproachestothemidpointofmidpointoftheintervalasX—>+:meanvaluetheoremforintegral;thenatureofcontinuousfunctions;intermediatepoint;asymptoticproperty一、引言定积分中值定理是数学分析中一个非常重要的定理,它包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,关于积分中值定理在书中是这么描述的:定理1(积分第一中值定理):若f-在仞上连续,则至少存在一点使得^f(x)dx=f(^)(b-a)。定理2(推广的积分第一中值定理):若/与g定理2(推广的积分第一中值定理):若f与g都在“,仞上连续,且g(x)在[q,仞上不变号,则至少存在一点e[],使得£fMg(x)dx=f(^)^g(x)dxo(当g(x)=l时,即为定理1)定理3(积分第二中值定理):设f在[劣用上可积,若函数g在“,仞上减,且g(x)W0,则存在&仁[。力],使得£f(x)g(x)dx=易看出上述的三个定理中的“中值”点&未必都是区间",仞的内点,有可能是端点,这就是原积分中值定理的局限性,使用起来十分不便,那么我们自然会问:“能不能把仞改成事(a,b)?”事实上是可以的,本文将在证明在开区间(。,们内至少存在一点&使上述定理成立,从ihj应用起来更加方便。设/*3)是区间[。,田上的连续函数,那么它是否也满足积分中值定理,存在一实数cxG(tz,x),使得£/(r)f/r=/(cx)(x-a) (*)?在文献[1]中,BernardJacobson研究了在(*)中当xa时中间点c、x中间点的渐近性质,证明了在f\a)()的条件下,中间点c、趋近于积分区间口,力的中点,即c Ilimlim上*=—,ZhangBaolin,李文荣等则在一般情况下讨论了推广的积分中值定理XT0X-a2“中间点”的渐近性。在后文讨论研究积分中值定理中间点的渐近性质,但是与文献[1-3]有所不同:假设积分区间在长度保持不变的情况下,令f是[。,+8]上的连续函数,对于x>a+\,由积分中值定理知,存在实数[有・+1],使得= ^x) (1)下文将讨论当X-»+00时,中间点&X的渐近性质:论证若/满足一定的条件下,则中间点^Xe[x,x+1]的中间点。二预备定理引理1(最大最小值定理):若/Xx)在闭区间",仞上连续,则/在[。,仞上有最大最小值。证明:(应用确界原理)山于/.")在”,仞上连续,故f(x)在[。力]上有界,有确界原理f([])有上确界,记为接下来论证:存在e[]使广(&)=M,若不然对Vxg[6z,/7]都有,f(x)VM°令g(x)二 ! ,xe[a,b],显然g在[。,0]上连续,故g在“,们上有上界。M-/W设G为g的一个上界那么0<g(x)二 WGxe[a,b],从而可得M二f(x)f(x)<Mxe[a,b]□G但是这个恰好与M为])有上确界(最小上界)矛盾,所以必存在§£[。,仞使=Mo即/在仞上有最大值。同理可证f在[a,b]上有最小值。引理2(介值性定理):设f在[口力]上连续,£Lf(a)f(h)若|i为介于f与f(b)之间的任何实数(/'(Q)VHVf(们)或(^似)>口>/•(/?)),那么存在x0G(«,/?)使得f(Xo)=口。证明:(应用确界原理)不妨设<