10.2 排列与组合.ppt

§ 排列与组合要点梳理 (1)排列的定义:从 n个的元素中取出 m (m ≤n)个元素,按照一定的排成一列,叫做从 n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列. (2 )排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m (m≤n)个元素的的个数叫做从 n个不同的元素中取出 m个元素的排列数,用 A 表示. 不同顺序所有不同排列 mn 基础知识自主学习(3)排列数公式: A = . (4)全排列: n个不同的元素全部取出的,叫做n个不同元素的一个全排列, A = n· (n-1)· (n-2)·…· 2·1= .于是排列数公式写成阶乘的形式为,这里规定 0!= . (1)组合的定义:从 n个的元素中取出 m(m≤ n)个元素叫做从 n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的一个组合. nn mn n(n-1)( n-2) …(n-m+1) 排列 n!1 )!( !Amn n mn??不同合成一组(2)组合数的定义:从 n个不同的元素中取出 m(m ≤n)个元素的的个数,叫做从 n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的组合数,用 C 表示.(3)组合数的计算公式: = ,由于 0!=,所以 C = .(4)组合数的性质: ①C = ;②C = + . 所有不同组合 mn?? mm mn mnA AC )!(! !mnm n? 1 10n12)1( )1()2 )(1(???????? mm mnnnn mn mn1? mnn ?C mnC 1C ?mn 基础自测 ,2,3,4,5,6 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有() 个解析选出符合题意的三个数有 =9 种方法, 每三个数可排成 =6 个三位数, ∴共有 9×6=54 个符合题意的三位数. D23 33A {1,2}X{1,2,3,4,5} ,满足这个关系式的集合 X共有() 个解析由题意知集合 X中的元素 1,2必取,另外, 从3,4,5中可以不取,取 1个,取 2个,取 3个. 故有 =8 (个) . D 33 23 13 ??? 4名男生和 3名女生中选派 4人担任奥运会志愿者,若男生甲和女生乙不能同时参加, 则不同的选派方案共有() 种解析若选男生甲,则有 =10 种不同的选法;同理,选女生乙也有 10种不同的选法;两人都不选有 =5 种不同的选法,所以共有 25种不同的选派方案. A 45C 35C 4.(2009 ·湖南理, 5)从10名大学毕业生中选 3人担任村长助理,则甲、乙至少有 1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为() 解析丙不入选的选法有 =84 (种) , 甲乙丙都不入选的选法有 =35 (种) . 所以甲、乙至少有一人入选,而丙不入选的选法有84-35=49 种. C123 789C 39?????123 567C 37????? ,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() 种解析恰有两个空位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,· =72 种排法. C 33A 24A 题型一排列问题【例1 】有 3 名男生、 4 名女生,在下列不同条件下, 求不同的排列方法总数. (1)选其中 5人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3人,后排 4人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有 3人. 题型分类深度剖析思维启迪无限制条件的排列问题,直接利用排列数公式即可. 但要看清是全排列还是选排列;有限制条件的排列问题,常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题,可分别用相应方法. 解(1)从 7个人中选 5个人来排列, 有 =7 ×6×5×4×3=2 520 种. (2)分两步完成,先选 3人排在前排,有种方法, 余下 4人排在后排,有种方法,故共有· =5 040 种. 事实上,本小题即为 7 人排成一排的全排列,无任何限制条件. 37A 44A 37A 44A 57A