5习题课(定积分).ppt

习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题例1. ex lim x xnn???? 101 解:因为]1,0[?x 时,x xne ex??1 0 所以 xde ex x xn?? 101 ?0 xdx n?? 101 1??n 利用夹逼准则得 01 10?????xde ex lim x xnn,x n?因为依赖于且 1) 思考例 1下列做法对吗?利用积分中值定理???e e lim nn????1 原式0?不对!?,n .10???说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项. px?1 1 p px x???1 1)x(10?? 1??? px1 如, P265 题4?????????????????n n nnnnn sin n sin n sin lim I 12 1 21 ????解:将数列适当放大和缩小,以简化成积分和: ????? nkk n kn sin 1 1 ?已知,xdx sin nn k sin lim nk n???21 10 1????????? 2????? nknn k sin n n 111 ???? nknn k sin 11?(考研 98 )11 ????n n lim n :???????????????n n nnnn sin n sin lim J 12 1 2???提示:由上题 1?????n sin lim IJ nn ? 1 1 )1( sin ???? n n nn ???1 1 1?????? n n )n(nn sin lim ?? 2?? 2?????21 12 1 2??????????????????n n nnnnn sin n sin n sin lim I? 00??故练习:1. 求极限).nn nn nn n( lim n 2222221?????????解: 原式 n lim n1 ?????? nin i)( 1 21 1xdx ??? 1021 14 ?? 2. 求极限).nnn ( lim n n n nnn12 1221 2 21?????????提示:原式 n lim n1 ????? ni n i121????n n lim n?? ni n i12 n 1?xd x?? 1022 1 ln ? 1 1???n lim n??? ni n i12 左边= 右边例3..xdxx ??? 10324 1 估计下列积分值解:因为]1,0[?x 324 1xx???4 1,x 24 1??∴xxx d4 1 1032????? xd 102 1xdx ??? 1024 1 即xdxx ??? 10324 1?2 16 ?? xx2 2042 2 2????证:令,e)x(f xx?? 2则xxe)x()x(f ???? 212 令,)x(f0??得,x2 1?,)(f10?,e )(f 4 2 11? 22e)(f?,e )x(f min ],[ 4201?? 220e)x(f max ],[?故2 2042 2 2exdee xx????)x(f 在?? 1,0 上是单调递减的连续函数, 试证?? 1,0?q 都有不等式??? 100xd)x(fqxd)x(f q 证明:显然 10??q,q 时结论成立.(用积分中值定理)? qxd)x(f 0?? 10xd)x(fq??? qxd)x(f)q( 01?? 1qxd)x(fq)q(??1 )(fq 1???q?)(f)q( 21????],0[ 1q??]1,[ 2q?? 10??q 当时, )](f)(f )[q(q 211?????0?故所给不等式成立. :,)(f,x)x(f310??处连续在已知且由方程????? xyyxtd)t(fytd)t(fxtd)t(f 111 确定 y是x的函数, 求.)x(f 方程两端对 x求导, 得)yx(f?? ytd)t(f 1y)y(fx ??????? xtd)t(fy 1)x(fy??)yxy( ???令x = 1, 得)(fytd)t(fy)y(f y1 1???再对 y 求导, 得)(fy )y(f1 1??y 3?Cy ln)y(f??3,C,y31??得令 33??x ln)x(f 机动目录上页下页返回结束故