定积分应用题附答案.docx

《定积分的应用》复习题一•填空:1曲线yInx,yIna,yInb(0ab)及y轴所围成的平面图形的面积lnb为A=eydv=b- x2和y 代所围成的平面图形的面积是 —1—求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的图形的面积。解:(1确定积分变量为y,解方程组y22x xi1/2 x22得 ,y2x2 yi1 y? 2一即抛物线与直线的交点为( ,1)和(2,-2). 故所求图形在直线y=1和2y=-2之间,即积分区间为[—2,1]。(2)在区间[—2,1]上,任取一小区间为]y,y+dy],对应的窄条面积1 12近似于高为](1——y)-—y2],底为dy的矩形面积,从而得到面积元素2 2dA=[(1—1y)-22y]dy(3)所求图形面积A=/1、12[(1-2y)-2y]dy=[y-3]16'24y2-fy3]4 6求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。解:由y=-x2+4x-3得y'2x4,y'(0) 4,y'(3) 2。抛物线在点(0,-3)处的切线方程为y=4x-3;在点(3,0)处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为 (-,3)2故面积A=解:两曲线的交点由r3cos,解得及3r1cos33rr22故A=2鬥1cos)2d12(3cos)2d02321cos2、,9厅―5=03(12cos)d-2(1cos2)d022 :r=3cos及r=1+cos32[(4x3)(x24x3)]dx33【(2x6)(x24x3)]dx-43•求由摆线x=a(t—sint),y=a(1-cost)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积2a解:Ay(x)dx02°a(1cost)a(1cost)dta22(12cost0cos2tLdt3a2的一拱(0t2),=a(t -sint),y=a(1-cost)直线y=0所围成的图形分别绕X轴、丫轴旋转而成的旋转体的体积。2解:Vxa2y2(x)dxa2(1cost)2a(1cost)dt2aVy 0(13cost3cos2t31\u2 3cost)dt5ax;(y)dy2a20 xjy)dy2a2(tsint)2取凤七oa2(tsint)2asintdt(tsint)+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积解:(1取积分变量为x,为求积分区间,解方程组:x2得圆与抛物线的两个交点为{y所以积分区间为卜1,1](2)在区间[-1,1]上任取一小区间[x,x+dx],与它对应的薄片体积近似于[(2-x2)- x4]dx,从而得到体积元素2 4 2 4dV= [(2-x)-x]dx= (2-x-x)dx.(3)故Vx=11(2-x2-x4)dx=(x2)2y2 1绕丫轴旋转而成的旋转体的体积解设旋转体积为V,则V2*2:X\1(x2)2dx令x2sint则V=4 2(2sint)cos21dt22(1cos2t)dt22sintcos2tdt24(t1sin2t)|:y=a-bx2(a>0,b>0),试确定常数a,b的值,使得C与直线y=x+1相切,且C与X轴所围图形绕丫轴旋转