定积分应用题附答案.doc

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《定积分的应用》复习题
:
==b-a______

:
=2x与直线2x+y–2=0所围成的图形的面积。
解:(1)确定积分变量为y,解方程组
得
即抛物线与直线的交点为(,1)和(2,-2).故所求图形在直线y=1和y=-2之间,即积分区间为[-2,1]。
(2)在区间[-2,1]上,任取一小区间为[y,y+dy],对应的窄条面积近似于高为[(1-y)-y2],底为dy的矩形面积,从而得到面积元素
dA=[(1-y)-y2]dy
(3)所求图形面积A=[(1-y)-y2]dy=[y-y2–y]=
=-x2+4x-3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
解:由y=-x2+4x–3得。
抛物线在点(0,-3)处的切线方程为y=4x–3;在点(3,0)处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为(,3)。
=
+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
解:(1)取积分变量为x,为求积分区间,解方程组:{,
得圆与抛物线的两个交点为{,{,所以积分区间为[-1,1]。
(2)在区间[-1,1]上任取一小区间[x,x+dx],与它对应的薄片体积近似于
[(2-x2)-x4]dx,从而得到体积元素
dV=[(2-x2)-x4]dx=(2-x2-x4)dx.
(3)故=(2-x2-x4)dx=
。
解设旋转体积为V,则
:y=a–bx2(a>0,b>0),试确定常数a,b的值,使得C与直线y=x+1相切,且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。
解:设切点坐标为(x,y),由于抛物线与y=x+1相切,
故有K=-2bx=1,得
由解得,即:
由
令得
(a>0),求:
(1)由星形线所围图形的面积
(2)星形线的长度。
解:(1)由对称性得
A
(2)L=
=
=
。
解:
曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为,原点对应的参数t=1。
故
s=
=x2、直线y=t2(t为参数)及Y轴所围图形的面积;S2为曲线y=x2、直线y=t2及x=1所围图形的面积。问t为何值时,S=S1+S2取得最大值、最小值。
解:
令
于是
故Smax=S(1)=,Smin=
:
:曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长。
证明:y=sinx的一个周期的弧长
L1=
椭圆2x2+y2=2即:化为参数方程为
其弧长为L2=
故L1=L2