圆锥曲线中一个与离心率有关的统一性质.pdf

2015年第12期中学数学研究·31· =(压+1)×丢×l川×d :(丛±!逊巫耍互丑匾!竺! 02后2+62 =c压川动√等等=(压+1)a6√一(菇杀)2州茹丢)冷=南,因为m2≤n2后2+62,所以f∈(o,1]. 所以‰Q=(压+1)口6厂而=(石+1)n6 √一(t一害)2+等,当l<A≤2时,[一(t一害)2 +等]~=等,所以(乳印)一=生学;当A >2时,[一(t一鲁)2十等]一=A—l,所以(5鲋舳)~=口6(压+1)、何推广应用在20题中,A=4,n=2,6:1,于是可得}_辫=2,(&聊)一=口6(压+1)· 丽=6 5. 试题改编已知椭圆与+告=1(口>6>o) 的左,右焦点分别是F。、R,离心率为÷,过F。且垂直于戈轴的直线被椭圆截得的线段长为3. (I)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设椭圆E:参+簧2 1,P为椭圆c上任 jo jD 意一点,过点P的直线,,=玩+艉交椭圆E于4,B 两点,射线P0交椭圆E于点Q. (i)求器的值; (ii)求△ABQ面积的最大值. 圆锥曲线中一个与离心率有关的统一性质安徽省萧县鹏程中学(235200) 孙学江孙雷笔者最近在解题时遇到一道解析几何试题,其结论可以推广为圆锥曲线的一个与离心率有关的统一性质,下面就该性质分别在椭圆、双曲线及抛物线中的情况加以推广,供大家参考. 试题已知椭圆c:与+严=1(o>1)的右焦点F,直线Z。过点F且Z。垂直于戈轴,Z。与C相交于 A,曰两点,I ABI:华. (1)求椭圆C的方程; (2)过c上一点P(菇o,y0)(yo≠o)的直线z:等+%y:1与直线f0相交于点肘,与直线z。:戈:毛譬相交于点Ⅳ,证明:点P在c上移动时,篇恒为定值,并求此定值. 解析:(1)椭圆的方程为}+y2=1. (2)把直线兰笋+‰y=1分别和直线f0:z=拉与直线z。:并=≥笋联立可得点M,Ⅳ的坐标分别为肘(应,生壬垡),|7、r(鼍鱼,生;焦鱼),又点P在椭圆 jyo Z Z% 蛐以拍一乎ⅢI-I等?胛I= √c学胡2+c警,2 l屈。一3 =——-二=——一√6 yo 。瓯i丽厄I%J ,所以器=I等I· I厩I 石 l凰。一3 l一3。考虑到过C上一点P(菇。,%)(y。≠O)的直线Z: 等+扎,,:l为椭圆上过P点的切线方程,直线z。: o 万方数据·32· 中学数学研究 2015第12期菇=学为右焦点所对应的右准线和器对应的定值正好为椭圆的离心率e,所以我们能否把它一般化呢? 性质l 已知F为椭圆与+告=l(口>6>o) o D 的右焦点,过椭圆上任一点P(戈。,%)(%≠0)的切线与直线菇:c及右准线戈=生分别交于肘,Ⅳ两删篇一解析:易知过点P(菇。,%)(‰≠0)椭圆的切线方程为筹+!警:1,把切线方程分别与直线石=c, 菇=生联立可得肘(c C ),Ⅳ(生, C 掣)删删z:垫乏丛,I胛|2_ 呵。口。蛎(￡一c):+(蚴)z:‘ 64(62。≥;+c2—2“。+菇:)6·(。z一“。)z u\¨ 一(再0, 口2c2元 c,,o 口c yo 所以篇“,抛考虑到圆锥曲线一般都具有很多类似的性质, 那么该结论在其他圆锥曲线中是不是也成立呢? 性质2 已知F为双曲线与一告=1(口>o,6 D >O)的右焦点,过双曲线上任一点P(xo,yo)(y。≠ 0)的切线与直线菇