2006年考研数学(三)真题解析.doc

2006年考研数学(三)真题解析
一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.
(1)
【分析】将其对数恒等化求解.
【详解】,
而数列有界,,所以.
故.

(2)设函数在的某邻域内可导,且,,则
【分析】利用复合函数求导即可.
【详解】由题设知,,两边对求导得
,
两边再对求导得,又,
故.

(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一:因为,
,
所以.
方法二:对微分得
,
故.

(4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则 2 .
【分析】将矩阵方程改写为的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设,有

于是有,而,所以.
(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则
.
【分析】利用的独立性及分布计算.
【详解】由题设知,具有相同的概率密度
.
则
.
【评注】本题属几何概型,也可如下计算,如下图:

则.
(6)设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则
【分析】利用样本方差的性质即可.
【详解】因为
,
,
所以,又因是的无偏估计量,
所以.
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ A ]
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,
,故应选(A).
(8)设函数在处连续,且,则
(A) 存在(B) 存在
(C) 存在(D)存在[ C ]
【分析】从入手计算,利用导数的左右导数定义判定的存在性.
【详解】由知,.又因为在处连续,则
.
令,则.
所以存在,故本题选(C).

(9)若级数收敛,则级数
(A) 收敛. (B)收敛.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ D ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】由收敛知收敛,所以级数收敛,故应选(D).
或利用排除法:
取,则可排除选项(A),(B);
取,则可排除选项(C).故(D)项正确.
(10)设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数,则该方程的通解是
(A). (B).
(C). (D) [ B ]
【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解,所以它的通解是
,故原方程的通解为
,故应选(B).
【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:
.
其中是所给一阶线性微分方程的特解,是对应齐次微分方程的通解.
(11)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是
(A) 若,则.
(B) 若,则.
(C) 若,则.
(D) 若,则. [ D ]
【分析】利用拉格朗日函数在(是对应的参数的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数,并记对应的参数的值为,则
, 即.
消去,得
,
整理得.(因为),
若,(D).
(12)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是
若线性相关,则线性相关.
若线性相关,则线性无关.
(C) 若线性无关,则线性相关.
(D) 若线性无关,则线性无关. [ A ]
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定.
【详解】记,则.
所以,若向量组线性相关,则,从而,向量组也线性相关,故应选(A).
(13)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则
(A). (B).
(C). (D). [ B ]
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
,
而,(B).
(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且

则必有
(B)
(C) (D) [ A ]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
【详解】由题设可得
,
则,即.
其中是标准正态分布的分布函数.
又是单调不减函数,则,即.
故选(A).
三、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分7分)