矩阵征值与特征向量分析及应用-毕业论文.doc

矩阵的特征值与特征向量分析及应用 1 矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念,为对角矩阵的学习奠定了基础. ,并应用于实例. 关键词: 矩阵特征值特征向量 Abstract Eigenvalues and eigenvectors are important concepts ofadvanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis ofthe definition ofeigenvalues and eigenvectors ,study the relationship ofthem .This also study the solution metho dofeigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties ofeigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live ,and appli cation inreal examples . Keyword s:matrix ;eigenvalue ;eigenvector 矩阵的特征值与特征向量分析及应用 2 目录引言第一章、本征值和本征向量的关系 本征值与本征向量的定义 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根 矩阵的特征多项式和特征根的定义 求解特征根和特征向量的方法 、特征值和特征向量在生活中的应用 经济发展与环境污染的增长模型 莱斯利( Leslie )种群模型四、结论矩阵的特征值与特征向量分析及应用 3 引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念, 是研究高等代数的基本工具.。线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段; 由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。求解矩阵的特征值和特征向量,,是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中,都是先计算特征多项式,然后求得特征值,再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用,并且在于生活现实中的应用也很广泛。第一章本征值和本征向量的关系 本征值与本征向量的定义定义 1设σ是数域 F上线性空间 F中的一个数λ,存在 V中的非零向量ξ,使得σ(ξ)=λξ(1) 那么λ就叫做σ的一个本征值,而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个本征向量. 显然,如果ξ是α∈ F的属于本征值λ的一个本征向量,那么对于任意α∈ F, 都有σ(αξ)=ασ(ξ)=λ(αξ) 这样,如果ξ是σ的一个本征向量,那么由ξ所生成的一维子空间 U={αξ|α∈ F} 在σ之下不变;反过来,如果 V的一个一维子空间 U在σ之下不变,那么 U中每一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量。①其中(1)式的几何意义是:本征向量ξ与它在σ下的象σ(ξ)保持在同一直线L(ξ)上, λ>0时方向相同, λ<0时方向相反, λ=0时, σ(ξ)=0. 例1在V3中, σ是关于过原点的平面 H的反射, H中的每个非零矩阵的特征值与特征向量分析及应用 4 向量都是σ的属于本征值 1的本征向量, Vλ就是平面 H垂直的非零向量都是σ的属于本征值-1的本征向量,即 V-1 就是直线L(见图 1)见图 1 (f(x))= f′(x), ,有σ(eλx)= λeλx. 所以, λ是σ的本征值,而 eλx是σ的属于λ的本征向量. 求解本征值与本征向量的方法探索问题的转化直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的,我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题. 设V是数域 F上的 n维线性空间,取定它的基{ α1,α2,…,αn},令线性变换σ在这个基下的矩阵是 A=( αij). 如果ξ=k1α1+k2α2+…+knαn是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量, 那么, σ(ξ)关于基{ α1,α2,…,αn}的坐标是 A??????????????