数列知识点总结.docx

# 語 :an1and(d为常数),ana1n1d等差中项:x,A,y成等差数列2Axy印ann nn1刖n项和Sn -- nq d22性质:an是等差数列(1)若mnpq,贝Uamanapaq;⑵数列a2n1 , a2n , a2n1仍为等差数列,Sn, % % S2n……仍为等差数列,公差为n2d;(3)若三个成等差数列,可设为ad,a,ad⑷若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则色也bmhm1(5)an为等差数列 Snan2bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函数)oSn的最值可求二次函数Snan2bn的最值;或者求出an中的正、负分界项,(即:ao当a1 0,d0,解不等式组 n可得Sn达到最大值时的n值;当印0,d0,由an1 0anan100可得Sn达到最小值时的n值.)(6)项数为偶数2n的等差数列anS2n n(a1 a2n) n(a2 a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)S偶S奇nd,务anS偶 an1(7)项数为奇数2-1的等差数列anS2n1(2n1)an(an为中间项),S奇 S偶 an,鱼— # 語 :也2anq(q为常数,q0),:X、G、y成等比数列G2xy,:Snnai(q1)aiiqn-(q1)1q性质:a是等比数列Pq,贝Ham・anap*aq⑵Sn,S2nSn,$n S2n仍为等比数列,•求数列通项公式的常用方法♦由Sn求an。( anSnSi1,n2S,n1、,111例1:数列an, a1 2a2~nan2n5,求an14(n1)2n1(n2)222解n1时,21215,a1 14c 1112nn2时,尹2a2 22"2nan51112n1a12a2 1an12225①一②得:1n12,…an2 ,…an5[练习]数列an满足SnSn13an1,a14,求an注意到anS1 〈1Sn,代入上式整理得當4,又S1 4,二S,是等比数列,故Sn4n。n2时,%SnSn13-4n1故an34n1,n24,n 1♦由递推公式求an(1)累加法(an1anf(n)形式)例2:数列an中,ai1,anan解:n2时,anan23n13na13a2an1(3n1)⑵累乘法(加anf(n)形式)例3:数列an中,ai解:a? a3a〔 a?anan1n1an3 an12累加得an3,空anai,求an求an323n13(3n1 1)2又a1n3,…an(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列▼取倒构造(an1等于关于an的分式表达)例4:a1 1,an2ananan解:由已知得:1an122anan丄an1an11an为等差数列,ana111,公差为11an2n1▼同除构造例5:a1 1,an13an3n,求an。解:对上式两边同除以3n1,得餉an3n步为等差数列,a13公差为-,3聖1(n1)3£,二an3n3 3 3n3n3n3n1。例6:a1 1,an12an3,求玄门。对上式两边同除以2n1,得an1an令bn寻,则有bn1bn,累加法可得bnbi(弓21(3)n122233(2)n429,又b1ai-,则2bn3(1)58,an2n例7:a13anan1 2anan10,求an解:对上式两边同除以a*an得丄an11an0,即丄anan12,则1an为等差数列,-1,公差为2,/1an1 2(n1)2n1,…an1。2n1▼取对构造(涉及an的平方)例8:a13耳13af,求a“.解:对上式两边取对数,得lgan1lg3a:,由对数运算性质得lgan1 ,整理得lgan1lg32(lganlg3),即lg3an1 2lgan,则lg3an为公比为2的等比数列,由此推知an通项公式。▼等比型(常用待定系数)例9:a11,an13an2,求an。解:待定系数法设上式可化为如下形式: an1k3(ank),整理可知2k2,则k1,•/原式可化为an1 1 3(an1),则a. 1为公比=3的等比数列,由此推知an通项公式。例10:a1 2,an14an3n1,求an。解:待定系数法设上式可化为如下形式:an1k(n1)b4(),整理3k3可知 ,得k1,b 0,二原式可化为an1(n1) 4(),则ann为公比=4的等比数列,由此推知an通项公式。▼提公因式例11:a11,an1an12a.,求a.。解:上式变形为an1ananan1,等号左边提公因式得anan11anam1乩」,两边取倒数得 —an an11an1an1'an1 11an11an 1为公差为1的等差