高一数学等比数列3.doc.doc

等比数列复习 1 、等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 注意(1 )、 q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即(2 )、由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0 ,因而公比 q 也不为 0.(3)、公比 q 可为正数、负数, 特别当 q=1 时, 为常数列 a 1 ,a 1, ……; q= - 1时, 数列为 a 1,- a 1 ,a 1, - a 1, …….(4 )、要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n∈N +, a n +1÷a n =q ,或 a n÷a n -1 =q (n≥2 )都成立. 2 、等比数列的通项公式由a 2 =a 1q,a 3 =a 2 q=a 1q 2,a 4 =a 3 q=a 1q 3, ……,归纳出 a n =a 1q n-1. 此式对 n=1 也成立. 3 、等比中项如果在 a与b 中间插入一个数 G ,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a与b 的等比中项. 4 、等比数列的判定方法(1 )、 a n =a n -1·q(n≥2 ), q 是不为零的常数, a n -1≠0 {a n} 是等比数列. (2 )、 a n 2 =a n -1·a n +1(n≥ 2,a n -1 ,a n ,a n +1≠0) {a n} 是等比数列. (3 )、 a n =c·q n(c,q 均是不为零的常数) {a n} 是等比数列. 5 、等比数列的性质设{a n} 为等比数列,首项为 a 1 ,公比为 q. (1 )、当 q>1 ,a1 >0 或 0<q<1 ,a1 <0 时, {an} 是递增数列;当 q>1 ,a1 <0 或 0<q<1,a 1>0 时, {a n} 是递减数列;当 q=1 时, {a n} 是常数列;当 q<0 时, {a n} 是摆动数列. (2 )、 a n =a m·q n -m(m、n∈N*).(3 )、当 m+ n=p +q(m、n、q、p∈N* )时,有 a m·a n =a p·a q. (4 )、{a n} 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积. (5 )、数列{λa n}(λ为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若{bn} 是公比为 q′的等比数列, 则数列{a n·b n} 是公比为 qq ′的等比数列; 数列是公比为的等比数列; {|a n |} 是公比为|q| 的等比数列.(6 )、在{a n} 中,每隔 k(k ∈N*) 项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为 qk+1.(7 )、当数列{a n} 是各项均为正数的等比数列时,数列{lga n} 是公差为 lgq 的等差数列. (8 )、{a n} 中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列. (9 )、若 m、n、p(m、n、p∈N* )成等差数列时, a m、a n、a p 成等比数列. 6 、等比数列的前 n 项和公式由此得 q≠1 时等比数列{a n} 的前 n 项和的公式. 因为 a n =a 1q n -1 ,所以上面公式还可以写成. 当 q=1 时, S n =na 、等比数列前 n 项