因式分解常用的九种方法.docx

因式分解常用的九种方法.docx因式分解常用的九种方法很多同学在做因式分解的题目时,会觉得无从入手。而面临竞赛题目时,更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实,因式分解没有想象中的那么难。[1]提取公因式这种方法比较常规、简单,必须学握。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等例一:2x~2-3x=0解:x(2x-3)-0xl=O,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解XF时,该式分解后必有一个(X-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。【2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等注意:使用公式法前,建议先提取公因式。例二:x~2-4分解因式分析:此题较为简单,可以看014=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a~b)2解:原式=(x+2)(x~2)【3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数al,a2的积al-a2,把常数项c分解成两个因数cl,c2的积cl・c2,并使alc2+a2cl正好是一次项b,那么可以直接写成结果例三:把2x"2-7x+:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,(只取正因数):2=1X2=2X1;分解常数项:3=1X3=3X1=(-3)X(-1)=(-1)X(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况:11X231X3+2X1=53X1IX1+2X3=71-1X2-3(-3)+2X(-1)=-5-3X-11X(-D+2X(-3)=-7经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,=(x-3)(2x-l).总结:对于二次三项式ax"2+bx+c(aH0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=ala2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=clc2,把al,a2,cl,c2,排列如下:alclXa2c2alc2+a2cl按斜线交叉相乘,再相加,得到alc2+a2cl,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即alc2+a2cl=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式alx+cl与a2x+c2Z积,即ax2+bx+c=(alx+cl)(a2x+c2).这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起來需要可持续性!例四:x"2+4x+4y*2_y*2可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解:原式二(x+2)^2-y2=(x+2+y)(x+2-y)总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上例五:(x+y)"2-2(x+y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y那么原式二a2~2a+l=(a-l)^2回代原式二(x+yT)"2【6】主元法这种方法要难一些,多练即可即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例六:因式分解16y+2x"2(y+l厂2+(y-l厂2x5分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。原式二(yT)"2x"4+2(y+l)“2x“2+16y [主元法]二(x"2y"2-2x"2y+x"2+8y)(x'2+2) 【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要。[7]双十字相乘法难度较Z前的方法要提升许多。是用来分解形如axP+bxy+cy"2+dx+ey+f的二次六项式在草稿纸上,将Q分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j) (nx+qy+k),P、、 + ..j要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,例七:ab+b2+a—b—2分解因式解:原式=OXIXa2+ab+b2+a—b—2(OXa+b+1)(a+b-2)=(b+1) (a+b—2)待定系数法将式子看成方程,将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式例八:x"2+x-2该题可以用十字相乘來做,这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做,x'2+x-2二0一眼看出,该方程有一根为x=l那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1耍为-2)一次项系数