例举初等数学与高等数学的一些联系.ppt

例举初等数学与高等数学的一些联系
演讲:张小明
E-mail:zjzxm79@

仿射几何:对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后,相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何,它是射影几何的一部分.
所谓放缩
一、仿射几何与平面几何
,平移:
,旋转
所以仿射变换指的是
()
,即
其中:
仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性.
说明:一一对应性指的是变换
一、仿射几何与平面几何
(1)有逆变换,其实逆变换也是仿射变换;
(2)同素性指的是:点变换成点,:若三点连线,:若
三点连线,则
,
则
所以
三点连线.
两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.
说明:我们不妨证明两条平行直线( , )

一、仿射几何与平面几何
显然命题为真.
,
和
仿射变换保持简比不变.
说明:若新直线的定比分点满足
一、仿射几何与平面几何
和
,则有
一、仿射几何与平面几何
任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量.
说明:,已经证明了
与
的面积之比为
.
(1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
(2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
一、仿射几何与平面几何
在平面上给定不共线三点
、
、
及不共线三点
、
、
,总存在一仿射变换把
、
、
分别变到
、
、
说明:若
的坐标分别为
,
、
、
的坐标为
,
、
、
则问题化为:在
和
的条件下,
问关于
的方程
是否有解.
(1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形
变到等腰直角
(2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形
变到等边
.
一、仿射几何与平面几何

、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE,
求证:S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE
证明:通过仿射变换,把
变成等腰直角三角形(
),则此时平形四边形ABCD为正方形
△AEF、△DFH、△CHG、S△BGE为全等三角形,命题得证.
一、仿射几何与平面几何
求证:三角形的三条中线共点.
一、仿射几何与平面几何
求证椭圆
的面积为
.