经济学微积分定积分的应用,求面积、体积.ppt

s64定积分的应用●一、平面图形的面积、立体的体积、经济应用、平面图形的面积平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解一条曲线情形:(积分变量为x)olabx(1)f(x)>0,(2)f(x)≤0,(3)一般情况S=lf(dxS=ff(x)dx=S1/()IdxS=S1+S2+S3f(x)-f(x)dx+.f(xddx∫f(x)ldh由y=f(x),x=a,x=b及x轴所围图形的面积为s=If(x)ldx条曲线(积分变量为y)x=p(y)C(1)qp(y)≥0(2)g(y)≤0(3)一般情况S=Jy)S=丁叫(y=1(y)dS=plydy-o(y)dy=lp(y)ldy由x=g(y,y=c,y=d及y轴所围图形的面积为SP(y)Idy求由y=nx,x=,x=10,y=0所围图形的面积解:S=nx|dy=Inx「Inrdx+,mxdx=-xInx+xdInx+rInrI7raIn=+1-01+10ln10-+09+10ln10--812条曲线(选择合适的积分变量)y=f(r)S=f(dx-,(klx((r)-f())dxf1(x)bx选x作为变量上边曲线减去下边曲线f2(x)≥f1(x)f(c)=f(cS=(x)=f(x)dxcH÷+((x)-f(x)f1(SIf,(x)-f,(xdx注:求面积时保证被积函数的非负性yS=(p()-p(y)dyp(x=9(yS=(p(y)-(y)小y+∫(以(y)-p(y)y∫g(y)-(y)dyx=p(Ar=ply选y作为变量右边曲线减去左边曲线当两条曲线相交时,应求出其交点作为区间分段点例计算由y2=x,y=(0,0)和(1,y(1,1)S=(x-x)选为积分变量y=x=【x2-3O另解S=(-y=导y-号=选为积分变量求面积的解题步骤1、画草图2、联立方程求交点3、选取合适的积分变量,确定积分区间确定被积函数,利用公式进行求解积分变量的选择选取积分变量x(y)应满足:过点x()作垂直于x(y)轴的直线穿区域D,是一进一出,即最多两个交点理论上可以选择任何一个变元为积分变量积分区间的确定选取积分变量x应为区域的左右两个边界点所确定的区间;选取积分变量y应为区域的上下两个边界点所确定的区间;被积函数应遵循的原则--0大减小(x上减下,y右减左)例:计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积解两曲线的交点{”=x2-06xyy→(0,0),(-2,4),(3,9)y=x选x为积分变量于是所求面积6x+(x2-x3+6x)dx253