初中数学竞赛中的平面几何(学生班级用).doc

初中数学竞赛中的平面几何(学生班级用) 满涛 2006年7月
亲爱的同学们,欢迎你们参加江苏省初中生数学夏令营。数学学习是艰苦的,也是美妙有趣的,几何问题特别能够体现数学的美妙。竞赛中的几何又比我们平时学习的几何要高一个层次,但又能体现她的美丽。单墫教授曾经在我本科学面几何中的小花》,从那时起,我喜欢上几何……
对于要参加江苏省初中生数学竞赛的你们,我从近两年的竞赛真题讲起,从分析竞赛真题到触类旁通,归纳出:
如何复习全面的几何知识
如何掌握解决几何问题的一般方法
几何问题需要的能力
与几何问题相关的其他问题
▲面积问题
1、(20届省竞赛)如图,△ABC中,AD、BE相交于点O,BD :CD=3 :2,
AE:CE = 2 :⊿BOC :S⊿AOC :S⊿AOB 为
(A)2 :3 :4 (B)2 :3:5 (C)3 :4:5 (D)3 :4 :6

从本题推想到三角形的面积,和求面积的比例方法。
(中线相交、中线的比,面积问题系列)
同样,2004年第19届的一道问题
2、如图,正方形ABCD面积为144cm2,P为BC边上的任意一点,E为AP的中点,F为PD上的一点,且DF=2FP,则△PEF的面积是_____________ cm2.
B
C
D
P
E
F
还有几道关于三角形的问题
3、(20届省竞赛)下面有三个判断:
(1)存在这样的三角形,它有两条角平分线互相垂直.
(2)存在这样的三角形,它的三条高的比是1 :2 :3.
(3)存在这样的三角形,其一边上的中线不小于其他两边和的一半.
其中正确的判断有( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
4、下列4个判断:
有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等;
一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。
上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。
▲面积与最优化有关的问题
5、(20届省竞赛)平行四边形ABCD中,AB = 6,BC = 4,∠ABC = 60°.要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少,则矩形的面积最小为.
6、将长为156 cm的铁丝剪成两段,每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形,则这两个正方形面积和的最小值是 cm2.
7、如果△ABC的两边长分别为a、b,那么△ABC的面积不可能等于( )
(A) (a2 + b2) (B) (a2 + b2 ) (C) (a + b )2 (D) ab
由这一题目联想到2004年初二的一道试题
8、凸四边形ABCD中,AB+AC+CD=16,问:对角线AC,BD为何值时,四边形ABCD面积最大?面积最大值是多少?
同样是给几个联加号,应该同样考虑不等式
9、四面体DABC的体积为,且满足则。
10、长边与短边之比为2:1的长方形为“标准长方形”。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1<a2<a3<a4<a5的5个不同“标准长方形”拼成的大长方形记为(a1、a2、a3、a4、a5),如图,短边长分别为1,2,,,7的“