平面几何知识在高中数学中的应用.doc

教案:
平面几何知识在高中数学中的应用
河北石家庄鹿泉一中刘秀萍 050200
教学目的:通过对初高中平面几何知识的联系,进一步建立起知识结构体系;自觉而熟练地运用数形结合思想解决问题;提高对知识的驾驭能力。
重、难点:初高中平面几何知识的联系以及建立起知识结构体系
教具及教学手段:应用多媒体进行教学,启发引导学生讨论解决问题
教学过程及内容:
一、引入:
高考中,数形结合思想的运用最多、也最广泛。转化与化归思想也是最常用的——化繁为简、化难为易、变不熟悉为熟悉,使得我们解题灵活简便。在这里我们把平面几何中“圆”的知识在高中数学解题中的应用研究一下。
大家知道,同一个圆内同弧上的圆周角相等、等弧上的圆周角也相等;圆外一点对圆内弦所张的角小于同侧圆周角(如下图中∠AEB<∠ACB)
二、新课内容:
例题1、在足球比赛中,甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人,沿直线向前推进,如图所示,已知前进方向的直线与底线垂直,交底线与球门AB的延长线上的D点。试求在距离底线多远处射门,可有最大的入射范围角?
给出10分钟时间让学生充分讨论后总结分析:设AD=a BD=b 则球门宽度 AB=a-b(这应该是定值)
法一、三角法及重要不等式
设角∠DAC=,依题设,入射角=∠ACB 在直角三角形⊿CDB和⊿CDA中,设CD=x 由勾股定理得:BC= ;AC=
则 sin== ①
在⊿ABC中, 由正弦定理得= 即= ②
所以sin=·sin==
=≤(当且仅当x=时取等号)
即在距离底线时射门,可有最大的入射角范围为(0,arcsin]
法二夹角公式(斜率)法
利用解析几何夹角公式,把BC 和 AC的斜率用坐标表示出来(以D为原点、DA为y轴建直角坐标系即可),此解法略。
法三数形结合法
原理:欲求C点位置,实质是在直线CD上找点C,使得C对线段AB张的角最大。依据文章开头说的圆的性质,只需以AB为弦作一个圆,并且使这个圆与CD直线相切,则切点即为所求的点C。显然,所作圆的圆心坐标为M(x,),且半径MA的长为,利用两点间距离公式即可求得x=
[作业]此题引申变形题为:
在 y轴上有两个点A、B,坐标分别为(0,a)和(0,b)(a>b>0),试在x轴上找一点C,使得∠ACB 最大。
[点评]这时,根据法三提供的方法求解,在x轴上应该找到两个点C,对称在y轴两侧。只需找到一侧即可得出两侧所求点的坐标,分别为(-,0)和( ,0)。这样解题比前面两种方法都要简便并且直观些。
例题2、如下图,已知两定点A(-c,0)、B(2c,0)(c>0).
(Ⅰ)在⊿AMB中,求使得∠MBA=2∠MAB的顶点M的轨迹方程,并画出方程的曲线;
(Ⅱ)自古代开始,数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角,但一直没有成功。直到十九世纪,其不可能性才被Galois的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺,则我们可以三等分任意角。请三等分图中的∠ADB,并证明。(北京朝阳区2004年高三综合练习(二))
解:(Ⅰ)因为在⊿AMB