例谈平面几何知识在求最值中的应用.doc

例谈平面几何知识在求最值中的应用
曲阜师范大学附属中学 273165 李凤华
济宁市实验中学附中 27210 0 冯宪玲
我们可以用不同观点,从不同角度,用不同的呈现方式来观察中学数学。如果选择恩格斯观察数学的角度——数学是研究数量关系与空间形式的科学,则数学的研究对象有的可以纳入单纯状态的“数量关系”或“空间关系”,有的可以纳入两者混合状态的“数形结合”。而中学数学中的最值问题在两者中均占有相当的篇幅,如函数的值域,空间图形间的距离,线性规划问题等。其条件不同,展现形式各异,求解方法也灵活多样,本文借助两例,谈一下平面几何知道在求最值中的应用。
例1 求函数的最小值。
分析:如图1,因为可视为点与点的距离,可视为点与点的距离,于是此最小值转化成了求x轴的动点与两定点、距离和的最小值。由平面几何知识知,A点关于x轴的对称点与B点的距离为所求。
易求的最小值是。
对于形如的函数最小值均可用此法来解,类似的形如
的函数的最大值亦可转化为x轴上的点与两定点距离差的绝对值最大,借助平面几何知识求解。
图1
例2 如图2,树顶A离地面am,树上另一点B离地面bm,在离地面cm的C处看此树上的AB段,离此树多远时视角最大?
图2
分析:此题常规解法是利用余弦定理,求∠ACB的余弦或利用三角函数知识求∠ACB的正切用C到树的距离x表示为关系x的函数,然后借助函数最值问题去求解,但运算较繁,如果我们由图形得到∠ACB为锐角,联想到圆上点对定弦张角(锐角)比圆外点对此弦张角大,问题便可转化为A、B的圆与距离地面cm的水平线相切时,切点D到树的距离DO,再由切割线定理,得:,故得离此树处看此树视角最大。
上例抽象为一般情形,即定直线上的动点对两定点(不在该直线上)张角最大问题,其解法为作过两定点的圆使与定直线相切,则切点对两定点张角最大。