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一. 平面几何与解析几何

平面几何(plane geometry)是古希腊的玩意儿,在公元前三百年便由欧几
里得(Euclid)编辑成书,所以又叫做欧几里得几何(Euclidean geometry),只
,直线绝对直,在世间无,因此平面几何象古希腊的哲学(爱智之学),是心想而没有物质的;实用的几何则是近似的. 平面几何是数学的一支,研究“如果甲则乙”.
例:等腰等角定理(isosceles isogonal theorem)或等腰定理:如果[三
角形两边相等]则[对角相等].
已知:在中,
求证:
(问:为什么要“求”?
答:寻求而非乞求. )
证明:考虑及:, .(已知)

图 1--1
故
,
从而
. (的对角)证毕.
已证的结果叫定理,可以留作后用,例如(边角边)是定理,在讨论
上例前已证.
再举一例:(毕氏定理(Pythagorean theorem)的逆(converse)定理)给出中,三边的长依惯例分别用来表示.
图 1--2
已知.
求证:
证明:(可用余弦定理证或)
作,使,,
. 以表示. 因
(毕氏定理)
及
, (已知)
,(取代)
从而
=.
所以
,(对应角)
即
. (取代)证毕.
毕氏为希腊人毕达哥拉斯(Pythagoras)的简译,他生于公元前五百多年
,他的学派创立了推理法或演绎法(deduction),用它证明了毕氏定理,由此发现了无理数(irrational number):设上面的,且=一单位(
单位可任选),则为. 暂设为有理数(rational number),即
, (1)
,即假设互质(relatively prime):没有大于1的(正整数)公因子. 由(1)得
. (2)
两边都可以分解因子至质数,即除自己外没有大于1的因子;不计乘法的顺序,这种分解至质数积的式子是唯一的,从而由(2)知含因子:,
(2)

因子分解,知也可被整除,
,
除(1)外,步步有理,故(1)
不成立,即不是有理数. 证毕.
图 1--3
上面提到正整数分解为质数积的结果叫做“唯一析因定理”(unique factorization theorem),它与物理、化学里将物分解为分子、原子……类
,例如用造;这样,我们便知道将一个任意的三位数重复写,所得的六位数能被整除,而且商是!
,是否也嫌
保守,忽略了希腊人创立演绎法的里程碑?问:在我们的勾股定理及四大发明后面有什么突出的方法?在它们前面又有什么远大的理想?[古印度人也会证毕氏定理:用图 1--2作四边形AB’C’C, B, A’’內同一点. 梯形AB’C’C
的面积为(b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算,得 ba//2+ab/2. 故.]
当他人沉溺于几何国中,
笛卡儿(Rene,Descartes,1596--1650)
用两条轴来决定一点,轴垂直于y轴,
叫直角坐标