平面几何命题向立体几何移植新探.doc

平面几何命题向立体几何移植新探
深圳大学附中王扬
笔者在文[1]、[2]中以类比的方法介绍了从平面几何向立体几何的移植原则:
并依此论证了若干对平面几何----,这可作为前述两文的继续.
为讨论方便,我们给出几个简单引理如下:(证明略)
引理1:(三角形中的共边比例定理)如图1,设O为△A1A2A3所在平面内一点,边
A2A3上的高为h1,O到边A2A3的距离为 r1,则。
引理2:(四面体中的共面比例定理)如图2,设O为四面体A1A2A3A4内部任意一点,A1及O到A1对面的距离分为h1和r1(i=1、2、3、4),则。
引理3:(三角形中的共角比例定理)如图3,设P为△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于D、E、F, 则。
引理4:(四面体中的共角比例定理)如图4,对顶三面角O---ABC

与O---A1B1C1中(即A1,O,A;B1,O,B;C1,O,C 分别三点共线),那么,它们的体积之间有
。
命题1: (《中等数学》 数学奥林匹克问题高中26 题)已知△A1A2A3内任意点O到顶点Ai 及所对边的距离分别为Ri和ri(i=1、2 、3), 求证:
.
证明:如图1,延长A1O交A2A3于B1,记△OA2A3,△OA3A1,△OA1A2,△A1A2A3的面积分别为S1,S2,S3,S,△A1A2A3的边A2A3上的高h1那么,由引理1知
R1+r1≥h1. ∴,同理,,
∴
从而原不等式得证.
注:三角形中的共边比例定理与简单的不等关系联姻使此题的证明如行云流水.
命题11:设O为四面体A1A2A3A4内部任意一点,O到Ai及其对面的距离分别为Ri和ri(i=1、2、3、4),求证:
证明:记四面体OA2A3A4,OA1A3A4,OA1A2A4,OA1A2A3,A1A2A3A4的体积分别为V1,V2,V3,V4,V,h1为三棱锥A1--A2A3A4的高线长,连A1O并延长交面A2A3A4于B1,+r1≥h1知,
同理, ,
∴。
到此,原不等式得证.
上述平面几何命题与立体几何命题的提法与论证是多么的和谐一致.
命题2.:设R、r分别为△A1A2A3的外接圆半径、内切圆半径,求证:R≥2r.
证明:如图1,取O为△A1A2A3的外心,△OA2A3,△OA3A1, △OA1A2,△A1A2A3的面积分别为S1,S2,S3,S,那么,O到A2A3,A3A1, A1A2的距离依次为r1,r2,r3,△A1A2A3的各边长分别为a1,a2,a3,则由命题1的证明知: ,∴
∴,同理可得;
这三式相加得: , ∴R≥2r. 证毕.
这里用面积法对平面上的Euler不等式R≥2r .
命题21: 设R、r分别为四面体A1A2A3A4的外接圆和内切圆半径, 求证:R≥3r.
证明:有关记号同命题11,并参图1,再取O为四面体A1A2A3A4的外心,则同命题11证明有,即
即,同理有;;
这四式相加得:
∴ R≥3r.
注:四面体中的Euler不等式的证明也较鲜